《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

1.用列举法表示下列给定的集合：
(1)大于-1且小于5的整数组成的集合A；
(2)方程$x^{2}-16 = 0$的实数根组成的集合B；
(3)小于10的素数组成的集合C；
(4)一次函数$y = 2x + 1$的图象与y轴的交点组成的集合D.

答案： 1.解：
(1)大于－1且小于5的整数包括0,1,2,3,4,
所以$A = \{ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 \}$.
(2)方程$x^2 - 1 6 = 0$的实数根为－4,4,
所以$B = \{ - 4 , 4 \}$.
(3)小于10的素数有2,3,5,7,
所以$C = \{ 2 , 3 , 5 , 7 \}$.
(4)由$\begin{cases}y = 2x + 1,\\x = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 0,\\y = 1,\end{cases}$
所以一次函数$y = 2x + 1$的图象与y轴的交点为$(0,1)$,
所以$D = \{ ( 0 , 1 ) \}$.

例2 用描述法表示下列集合：
(1)函数$y = -2x^{2}+x$图象上的所有点组成的集合；
(2)不等式$2x - 3 ＜ 5$的解组成的集合；
(3)图中阴影部分的点(含边界)组成的集合；
(4)3和4的所有正的公倍数构成的集合.

答案： 例2 [解]
(1)函数$y = - 2x^2 + x$图象上的所有点组成的集合可表示为$\{ ( x , y ) \mid y = - 2x^2 + x \}$.
(2)不等式$2x - 3 ＜ 5$的解组成的集合可表示为$\{ x \mid 2x - 3 ＜ 5 \}$,即$\{ x \mid x ＜ 4 \}$.
(3)图中阴影部分的点(含边界)组成的集合可表示为
$\{(x,y)\mid -1\leq x\leq \frac{3}{2}, - \frac{1}{2}\leq y\leq 1,xy\geq 0\}$.
(4)因为3和4的最小公倍数是12,所以3和4的所有正的公倍数构成的集合是$\{x\mid x = 12n,n\in \mathbf{N}_+\}$.

2.用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)被3除余2的正整数集合；
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.

答案： 2.解：
(1)偶数可用式子$x = 2n,n\in \mathbf{Z}$表示,但本题要求为正偶数,故限定$n\in \mathbf{N}_+$,
所以正偶数集可表示为$\{x\mid x = 2n,n\in \mathbf{N}_+\}$.
(2)设被3除余2的数为$x$,
则$x = 3n + 2,n\in \mathbf{Z}$,但元素为正整数,故$n\in \mathbf{N}$,所以被3除余2的正整数集合可表示为$\{x\mid x = 3n + 2,n\in \mathbf{N}\}$.
(3)坐标轴上的点$(x,y)$的特点是横、纵坐标中至少有一个为0,即$xy = 0$,故平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合可表示为$\{(x,y)\mid xy = 0\}$.