《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

例3 设集合$A = \{x|x + m\geqslant 0\}$，$B = \{x|-2 ＜ x ＜ 4\}$，全集$U = \mathbf{R}$，且$(\complement_U A)\cap B = \varnothing$，求实数$m$的取值范围.
[条件探究1] 本例将条件“$(\complement_U A)\cap B = \varnothing$”改为“$(\complement_U A)\cap B\neq \varnothing$”，其他条件不变，则实数$m$的取值范围又如何？
[条件探究2] 本例将条件“$(\complement_U A)\cap B = \varnothing$”改为“$(\complement_U B)\cup A = \mathbf{R}$”，其他条件不变，则实数$m$的取值范围又如何？

答案： 例3 [解] 由已知，得$A = \{x \mid x \geq -m\}$，所以$\complement_U A = \{x \mid x ＜ -m\}$，因为$B = \{x \mid -2 ＜ x ＜ 4\}$，$(\complement_U A) \cap B = \varnothing$，所以$-m \leq -2$，即$m \geq 2$，所以实数 m 的取值范围是$\{m \mid m \geq 2\}$．
[条件探究1] 解：由已知，得$A = \{x \mid x \geq -m\}$，所以$\complement_U A = \{x \mid x ＜ -m\}$，又$B = \{x \mid -2 ＜ x ＜ 4\}$，$(\complement_U A) \cap B \neq \varnothing$，所以$-m ＞ -2$，解得$m ＜ 2$．所以实数 m 的取值范围是$\{m \mid m ＜ 2\}$．
[条件探究2] 解：由已知，得$A = \{x \mid x \geq -m\}$，$\complement_U B = \{x \mid x \leq -2$，或$x \geq 4\}$．又$(\complement_U B) \cup A = R$，所以$-m \leq -2$，解得$m \geq 2$．所以实数 m 的取值范围是$\{m \mid m \geq 2\}$．

3.(1)已知全集$U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$，$A = \{2, m\}$，且$\complement_U A = \{1, 3, 5\}$，则$m$的值为4
(2)已知全集$U = \mathbf{R}$，$A = \{x\in\mathbf{R}|x^2 - 3x + b = 0\}$，$B = \{x\in\mathbf{R}|(x - 2)(x^2 + 3x - 4) = 0\}$，且$(\complement_U B)\cap A = \varnothing$，求实数$b$的取值范围.

答案： 3.
(1)答案:4
解析：由已知全集$U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$，$\complement_U A = \{1, 3, 5\}$，所以$A = \{2, 4\}$，又因为$A = \{2, m\}$，所以$m = 4$．
(2)解：由题意，$B = \{-4, 1, 2\}$，且$A \subseteq B$．
①若$A = \varnothing$，则$\Delta = 9 - 4b ＜ 0$，得$b ＞ \frac{9}{4}$；
②若$A \neq \varnothing$，则方程$x^2 - 3x + b = 0$有实根，设实根为$x_1$，$x_2$，由根与系数的关系知，$x_1 + x_2 = 3$．又$A \subseteq B$，所以$A = \{1, 2\}$，所以由根与系数的关系得$b = 1 × 2 = 2$．综上，实数 b 的取值范围是$\{b \mid b ＞ \frac{9}{4}$，或$b = 2\}$．

1.已知$M$，$N$为集合$I$的非空真子集，且$M$，$N$不相等，若$N\cap(\complement_I M) = \varnothing$，则$M\cup N =$
(A)

A.$M$
B.$N$
C.$I$
D.$\varnothing$

答案：
1.A [如图，因为$N \cap (\complement_U M) = \varnothing$，且 M，N 不相等，所以$N \subseteq M$，所以$M \cup N = M$．
　　　　　　　　

2.(全国甲卷)已知集合$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 9\}$，$B = \{x|\sqrt{x}\in A\}$，则$\complement_A(A\cap B) =$
(D)

A.$\{1, 4, 9\}$
B.$\{3, 4, 9\}$
C.$\{1, 2, 3\}$
D.$\{2, 3, 5\}$

答案： 2.D [因为$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 9\}$，$B = \{x \mid \sqrt{x} \in A\}$，所以$B = \{1, 4, 9, 16, 25, 81\}$，则$A \cap B = \{1, 4, 9\}$，$\complement_A (A \cap B) = \{2, 3, 5\}$．故选 D.]

3.设集合$S = \{x|x ＞ -2\}$，$T = \{x|-4\leqslant x\leqslant 1\}$，则$(\complement_{\mathbf{R}}S)\cup T =$
(C)

A.$\{x|-2 ＜ x\leqslant 1\}$
B.$\{x|x\leqslant -4\}$
C.$\{x|x\leqslant 1\}$
D.$\{x|x\geqslant 1\}$

答案： 3.C [因为$S = \{x \mid x ＞ -2\}$，所以$\complement_R S = \{x \mid x \leq -2\}$，又$T = \{x \mid -4 \leq x \leq 1\}$，所以$(\complement_R S) \cup T = \{x \mid x \leq -2\} \cup \{x \mid -4 \leq x \leq 1\} = \{x \mid x \leq 1\}$．]

4.如果$U = \{x|x$是自然数$\}$，$A = \{x|x$是正奇数$\}$，$B = \{x|x$是$5$的倍数$\}$，则$B\cap(\complement_U A) =$$\{x \in N \mid x$是 10 的倍数$\}$

答案： 4.$\{x \in N \mid x$是 10 的倍数$\}$
解析：由题意，得$\complement_U A = \{x \mid x$是非负偶数$\}$，又$B = \{x \mid x$是 5 的倍数$\}$，所以$B \cap (\complement_U A)$中的元素应为 10 的倍数且大于等于 0，故$B \cap (\complement_U A) = \{x \in N \mid x$是 10 的倍数$\}$．

5.已知全集$U = \{2, 3, a^2 - 2a - 3\}$，$A = \{2, |a - 7|\}$，$\complement_U A = \{5\}$，则$a$的值为4.

答案： 5.4
解析：由$A \cup (\complement_U A) = U$，知$\begin{cases} |a - 7| = 3, \\ a^2 - 2a - 3 = 5, \end{cases}$所以$a = 4$．