《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

知识点 偶函数、奇函数的定义
(1)偶函数的定义
一般地，设函数$f(x)$的定义域为$D$，如果①$f(-x)=f(x)$ ，那么函数$f(x)$就叫做偶函数.
(2)奇函数的定义
一般地，设函数$f(x)$的定义域为$D$，如果②$f(-x)=-f(x)$ ，那么函数$f(x)$就叫做奇函数.
[点拨] 奇偶性是函数的“整体”性质，只有对函数定义域内的每一个$x$，都有$f(-x)=-f(x)$（或$f(-x)=f(x)$），才能说函数为奇函数（或偶函数）.
[想一想] (1)是否存在既是奇函数又是偶函数的函数?
(2)偶函数、奇函数的图象有什么特征?

答案： 知识点：∀x∈D，都有−x∈D，且f(−x)=f(x)；∀x∈D，都有−x∈D，且f(−x)=−f(x)
[想一想]
(1)提示:存在.既奇又偶的函数有且只有一类：f(x)=0，x∈D，且D是关于坐标原点对称的集合.
(2)提示:偶函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形.

1.(函数奇偶性的判断)下列函数是偶函数的是 (B)

A.$y = x$
B.$y = 2x^{2} - 3$
C.$y = \frac{1}{\sqrt{x}}$
D.$y = x^{2},x\in[0,1]$

答案： 1.B

2.(奇偶函数定义域的特点)已知函数$f(x)$为定义在区间$[3 - a,5]$上的奇函数，则$a =$ (C)

A.$-2$
B.3
C.8
D.无法确定

答案： 2.C

3.(利用函数的奇偶性求值)设函数$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，且$f( - 3) = - 2$，则$f(3) + f(0) =$ (C)

A.3
B.$-3$
C.2
D.7

答案： 3.C

4.(奇偶函数图象的应用)设$f(x)$是定义在$[ - 3,3]$上的偶函数，当$x\in[0,3]$时，$f(x)$的图象如图所示，则不等式$f(x)＜0$的解集为(−2,0)∪(0,2).

答案： 4.(−2,0)∪(0,2)

例 1 判断下列函数的奇偶性：
(1)$f(x)=x^{3}+x$；
(2)$f(x)=\sqrt{1 - x^{2}} + \sqrt{x^{2} - 1}$；
(3)$f(x)=\frac{2x^{2} + 2x}{x + 1}$；
(4)$f(x)=\begin{cases}x + 1,x ＞ 0, \\ - x + 1,x ＜ 0. \end{cases}$

答案： 例1 [解]
(1)函数的定义域为R，关于原点对称.
又f(−x)=(−x)³+(−x)=−(x³+x)=−f(x)，
所以函数f(x)是奇函数.
(2)由$\begin{cases}1 - x^{2} \geq 0, \\x^{2} - 1 \geq 0\end{cases}$得x²=1，即x=±1，
所以函数的定义域为{−1,1}，关于原点对称.
又f
(1)=f(−1)=−f(−1)=0，
所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
(3)函数f(x)的定义域是(−∞,−1)∪(−1,+∞)，不关于原点对称，所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(4)f(x)的定义域是(−∞,0)∪(0,+∞)，关于原点对称.
当x＞0时，−x＜0，f(−x)=−(−x)+1=x+1=f(x)；
当x＜0时，−x＞0，f(−x)=−x+1=f(x).
综上所述，∀x∈(−∞,0)∪(0,+∞)，都有f(−x)=f(x)，所以函数f(x)是偶函数.