《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

1.若函数$f(x)=a^2(2-a)^x$是指数函数，则$a=$$-1$

答案： 1.答案：$-1$
解析：因为函数$f(x)=a^{2}(2-a)^{x}$是指数函数，所以$a^{2}=1$，$2-a＞0$，且$2-a\neq1$，解得$a=-1$.

例2 (1)若点$(a,27)$在函数$y=(\sqrt{3})^x$的图象上，则$a$的值为 (A)
A.6
B.1
C.8
D.0

答案： 例2
(1)[解析] $\because$点$(a,27)$在函数$y=(\sqrt{3})^{x}$的图象上，
$\therefore27=(\sqrt{3})^{a}$，即$3^{3}=3^{\frac{a}{2}}$，$\therefore\frac{a}{2}=3$，解得$a=6$.
[答案] A

(2)指数函数$y=f(x)$的图象经过点$(-2,\frac{1}{4})$，那么$f(4)f(2)=$ (D)
A.8
B.16
C.32
D.64

答案：
(2)[解析] 设$f(x)=a^{x}(a＞0$，且$a\neq1)$，由指数函数$y=f(x)$的图象经过点$(-2,\frac{1}{4})$，可得$a^{-2}=\frac{1}{4}$，解得$a=2$，
$\therefore f(x)=2^{x}$，$\therefore f(4)f(2)=2^{4}×2^{2}=64$.
[答案] D

2.指数函数$y=f(x)$的图象经过点$(π,\sqrt{2})$，则$f(-π)=$$\frac{\sqrt{2}}{2}$。

答案： 2.答案：$\frac{\sqrt{2}}{2}$
解析：设$f(x)=a^{x}(a＞0$，且$a\neq1)$，则由题意知，$f(x)=a^{x}$
$=\sqrt{2}$，$\therefore a=(\sqrt{2})^{\frac{1}{2}}$，$\therefore f(x)=(\sqrt{2})^{\frac{x}{2}}$，$\therefore f(-π)=(\sqrt{2})^{-\frac{\pi}{2}}=$
$(\sqrt{2})^{-1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

例 3 目前某县有 100 万人，经过$x$年后有$y$万人。如果年平均增长率是 1.2％，请回答下列问题：
(1)写出$y$关于$x$的函数解析式;
(2)计算 10 年后该县的人口总数(可借助于计算器，结果精确到 0.1 万人).

答案： 例3 [解]
(1)当$x=1$时，$y=100+100×1.2\%=100(1$
$+1.2\%)$；
当$x=2$时，$y=100(1+1.2\%)+100(1+1.2\%)×1.2\%$
$=100(1+1.2\%)^{2}$；
当$x=3$时，$y=100(1+1.2\%)^{2}+100(1+1.2\%)^{2}×1.2\%$
$=100(1+1.2\%)^{3}$；
$·s·s$
故$y$关于$x$的函数解析式为$y=100(1+1.2\%)^{x}(x\in\mathbf{N}^{*})$，
即$y=100×1.012^{x}(x\in\mathbf{N}^{*})$.
(2)当$x=10$时，$y=100×1.012^{10}\approx112.7$.
故10年后该县约有112.7万人.

3.(1)一批设备价值$a$万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低$b\%$，则$n$年后这批设备的价值为 (D)
A.$na(1-b\%)$万元
B.$a(1-nb\%)$万元
C.$a[1-(b\%)^n]$万元
D.$a(1-b\%)^n$万元

答案： 3.
(1)D [1年后价值为$a(1-b\%)$万元，2年后价值为$a(1$
$-b\%)^{2}$万元，$·s$，$n$年后价值为$a(1-b\%)^{n}$万元.故选D.]

(2)某试验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据可知，在相同条件下，这种植物每周以$a\%$的增长率生长.若经过4周后，该植物的长度是原来的$\frac{3}{2}$倍，则再经过6周，该植物的长度大约是原来的 (C)
A.$\frac{9\sqrt{6}}{2}$倍
B.$\frac{9\sqrt{6}}{4}$倍
C.$\frac{9\sqrt{6}}{8}$倍
D.$\frac{9\sqrt{6}}{16}$倍

答案：
(2)C [设植物原来的长度为$m$，经过4周后，该植物的长
度为原来的$\frac{3}{2}$倍，即$m(1+a\%)^{4}=\frac{3}{2}m$，即$(1+a\%)^{4}=$
$\frac{3}{2}$，即$1+a\%=(\frac{3}{2})^{\frac{1}{4}}$，再过6周后，该植物的长度为
$m(1+a\%)^{10}=m×[(\frac{3}{2})^{\frac{1}{4}}]^{10}=m×(\frac{3}{2})^{\frac{5}{2}}=$
$m×\frac{9}{4}×$
$\frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{9\sqrt{6}}{8}m$.因此，再经过6周，该植物的长度大约是原来
的$\frac{9\sqrt{6}}{8}$倍.故选C.]