《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

知识点一 角的对称
(1)角$\pi+\alpha$的终边与角$\alpha$的终边关于[01]$_x$轴对称，如图(a)；
(2)角$-\alpha$的终边与角$\alpha$的终边关于[02]$_x$轴对称，如图(b)；
(3)角$\pi-\alpha$的终边与角$\alpha$的终边关于[03]$_y$轴对称，如图(c).

(a) (b) (c)

答案： 知识点一 ⑴原点 ⑵$x$轴 ⑶$y$轴

知识点二诱导公式

[点拨](1)公式一、二、三、四都叫做诱导公式，它们可概括如下：
①记忆方法：$2k\pi+\alpha(k\in\mathbf{Z})$，$-\alpha$，$\pi\pm\alpha$的三角函数值，等于$\alpha$的同名函数值，前面加上一个把$\alpha$看成锐角时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”.
②解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设$\alpha$是锐角，要看原三角函数是取正值还是负值，如$\sin(\pi+\alpha)$，若把$\alpha$看成锐角，则$\pi+\alpha$在第三象限，正弦在第三象限取负值，故$\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha$.
(2)利用诱导公式一和三，还可以得到如下公式：
$\sin(2\pi-\alpha)=-\sin\alpha$，$\cos(2\pi-\alpha)=\cos\alpha$，
$\tan(2\pi-\alpha)=-\tan\alpha$.

答案： 知识点二 ⑴$-\sin\alpha$ ⑵$-\cos\alpha$ ⑶$\tan\alpha$ ⑷$-\sin\alpha$ ⑸$\cos\alpha$ ⑹$-\tan\alpha$ ⑺$\sin\alpha$ ⑻$\cos\alpha$ ⑼$-\tan\alpha$

1.(给角求值)$\sin2025^{\circ}$的值为(A)

A.$-\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$-\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： 1.A

2.(给值求值)已知$\tan\alpha=2$，则$\tan(\pi-\alpha)=$-2.

答案： 2.-2

3.(给式求值)已知$\alpha$为锐角，且$\cos(\alpha+\frac{\pi}{6})=\frac{3}{5}$，则$\sin(\alpha+\frac{7\pi}{6})=$$-\frac{4}{5}$.

答案： 3.$-\frac{4}{5}$

4.(利用诱导公式化简三角函数式)化简：$\cos(5\pi+\alpha)+\cos(3\pi-\alpha)+\cos(2\pi-\alpha)=$$-\cos\alpha$.

答案： 4.$-\cos\alpha$