《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

2. 若三个幂函数 $y=x^a$，$y=x^b$，$y=x^c$ 在第一象限内的图象如图所示，则 $a,b,c$ 的大小关系是 (C)


A.$c＞b＞a$
B.$c＞a＞b$
C.$a＞b＞c$
D.$a＞c＞b$

答案： [跟踪训练]
2.C [幂函数的图象在第一象限内直线$x = 1$右侧的“高低”关系是“指大图高”，所以$a ＞ b ＞ c$.]

例3 比较下列各题中两个值的大小：
(1) $2.3^{\frac{1}{2}}, 2.4^{\frac{1}{2}}$；
(2) $(\sqrt{2})^{-2}, (\sqrt{3})^{-2}$；
(3) $(-0.31)^2, 0.35^2$。
..

答案： 例3 [解]
(1)$\because y = x^{\frac{2}{3}}$在$[0, +\infty)$上单调递增，且$2.3 ＜ 2.4,\therefore 2.3^{\frac{2}{3}} ＜ 2.4^{\frac{2}{3}}$.
(2)$\because y = x^{-2}$在$(0, +\infty)$上单调递减，且$\sqrt{2} ＜ \sqrt{3}$，$\therefore (\sqrt{2})^{-2} ＞ (\sqrt{3})^{-2}$.
(3)$(-0.31)^{2} = 0.31^{2}$.
又函数$y = x^{2}$在$[0, +\infty)$上单调递增，且$0.31 ＜ 0.35$，$\therefore 0.31^{2} ＜ 0.35^{2}$，即$(-0.31)^{2} ＜ 0.35^{2}$.

3. 比较下列各组数的大小：
(1) $\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{2}}$ 与 $\left(\frac{3}{5}\right)^{\frac{1}{2}}$；
(2) $-3.14^3$ 与 $-\pi^3$。
角度2 根据单调性解不等式

答案： [跟踪训练]
3.解：
(1)$\because y = x^{\frac{1}{3}}$在$[0, +\infty)$上单调递增，且$\frac{2}{3} ＞ \frac{3}{5},\therefore (\frac{2}{3})^{\frac{1}{3}} ＞ (\frac{3}{5})^{\frac{1}{3}}$.
(2)$\because y = x^{3}$是$\mathbf{R}$上的增函数，且$3.14 ＜ \pi$，$\therefore 3.14^{3} ＜ \pi^{3},\therefore -3.14^{3} ＞ -\pi^{3}$.

例4 若 $(a+1)^{\frac{1}{2}} ＜ (1-2a)^{\frac{1}{2}}$，则实数 $a$ 的取值范围为 $[-1,0)$。
..
[条件探究] 将本例条件改为 $(a+1)^3 ＜ (1-2a)^3$，结果如何？

答案： 例4 [解析] 易知函数$y = x^{a}$的定义域为$[0, +\infty)$，在定义域内为增函数，所以$\begin{cases}a + 1 \geq 0, \\1 - 2a \geq 0, \\a + 1 ＜ 1 - 2a,\end{cases}$ 解得$-1 \leq a ＜ 0$.
[答案] $[-1,0)$
[条件探究] 解：因为函数$y = x^{3}$的定义域为$\mathbf{R}$，且在$\mathbf{R}$上单调递增，所以$a + 1 ＜ 1 - 2a$，解得$a ＜ 0$.