《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

1.给出下列三组命题：
(1)$p$：两个三角形相似，$q$：两个三角形全等；
(2)$p$：一个四边形是矩形，$q$：这个四边形的对角线相等；
(3)$p$：$x+1=0,q$：$(x+1)(x-2)=0$.
试分别指出哪些命题中的$p$是$q$的充分条件？

答案： 【跟踪训练】
1.解：
(1)因为相似的三角形不一定全等，
所以$p \nRightarrow q$，
所以$p$不是$q$的充分条件.
(2)因为矩形的对角线相等，所以$p \Rightarrow q$，
所以$p$是$q$的充分条件.
(3)因为由$x + 1 = 0$可得$(x + 1)(x - 2)=0$，即$p \Rightarrow q$，
所以$p$是$q$的充分条件.

例2 下列“若$p$，则$q$”形式的命题中，哪些命题中的$q$是$p$的必要条件？
(1)若$\triangle ABC$是直角三角形，则$\triangle ABC$是等腰三角形；
(2)若$x=1$，则$x-1=\sqrt{x-1}$；
(3)若$a$是自然数，则$a$是正整数.

答案： 例2 [解]
(1)直角三角形不一定是等腰三角形，
因此$p \nRightarrow q$，所以$q$不是$p$的必要条件.
(2)当$x = 1$时，$x - 1=\sqrt{x - 1}=0$，
所以$p \Rightarrow q$，所以$q$是$p$的必要条件.
(3)因为$0$是自然数，但不是正整数，
所以$p \nRightarrow q$，所以$q$不是$p$的必要条件.

2.下列“若$p$，则$q$”形式的命题中，哪些命题中的$q$是$p$的必要条件？
(1)若$-2\leqslant x\leqslant5$，则$-1\leqslant x\leqslant5$；
(2)若$\triangle ABC$为等边三角形，则$\triangle ABC$是等腰三角形；
(3)若$a-3b=0$，则$\frac{a}{b}=3$.

答案： 【跟踪训练】
2.
(1)当$x = - 2$时，$-2\leq x\leq5$成立，但是$-1\leq x\leq5$不
成立，所以$p \nRightarrow q$，所以$q$不是$p$的必要条件.
(2)因为等边三角形一定是等腰三角形，
所以$p \Rightarrow q$，所以$q$是$p$的必要条件.
(3)当$a = b = 0$时，$a - 3b = 0$成立.
但是$\frac{a}{b}=3$不成立，所以$p \nRightarrow q$，
所以$q$不是$p$的必要条件.