《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

1.(1)如果角$\alpha$的终边经过点$P(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$，则$\sin\alpha =$$\frac{1}{2}$，$\cos\alpha =$−$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan\alpha =$−$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
(2)已知角$\alpha$的终边经过点$P(-4a,3a)(a\neq0)$，求$\sin\alpha$，$\cos\alpha$，$\tan\alpha$的值.

答案： 1.
(1)答案:$\frac{1}{2}$　−$\frac{\sqrt{3}}{2}$　−$\frac{\sqrt{3}}{3}$
解析:由题意知r=|OP|=$\sqrt{(-\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}+(\frac{1}{2})^{2}}$ = 1,所以sinα=$\frac{y}{r}$=$\frac{\frac{1}{2}}{1}$=$\frac{1}{2}$,cosα=$\frac{x}{r}$=$\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1}$=−$\frac{\sqrt{3}}{2}$,tanα=$\frac{y}{x}$=$\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}$=−$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
(2)解:r=$\sqrt{(-4a)^{2}+(3a)^{2}}$ = 5|a|,
若a ＞ 0,则r = 5a,角α在第二象限,sinα=$\frac{y}{r}$=$\frac{3a}{5a}$=$\frac{3}{5}$,cosα=$\frac{x}{r}$=$\frac{-4a}{5a}$=−$\frac{4}{5}$,tanα=$\frac{y}{x}$=$\frac{3a}{-4a}$=−$\frac{3}{4}$;
若a ＜ 0,则r = -5a,角α在第四象限,sinα=−$\frac{3}{5}$,cosα=$\frac{4}{5}$,tanα=−$\frac{3}{4}$.

例2 判断下列各式的符号：
(1)$\sin2025^{\circ}\cos2026^{\circ}\tan2027^{\circ}$；
(2)$\tan191^{\circ}-\cos191^{\circ}$；
(3)$sin2\cos3\tan4$.

答案：
(1)[解]
∵2025° = 5×360°+225°,2026° = 5×360°+226°,2027° = 5×360°+227°,
∴它们都是第三象限角,
∴sin2025° ＜ 0,cos2026° ＜ 0,tan2027° ＞ 0,
∴sin2025°cos2026°tan2027° ＞ 0.
(2)[解]
∵191°角是第三象限角,
∴tan191° ＞ 0,cos191° ＜ 0,
∴tan191°−cos191° ＞ 0.
(3)[解]
∵$\frac{π}{2}$ ＜ 2 ＜ π,$\frac{π}{2}$ ＜ 3 ＜ π,π ＜ 4 ＜ $\frac{3π}{2}$,
∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角,
∴sin2 ＞ 0,cos3 ＜ 0,tan4 ＞ 0,
∴sin2cos3tan4 ＜ 0.

2.(1)判断下列各式的符号：
①$\sin145^{\circ}\cos(-210^{\circ})$；
②$\sin3\cos4\tan5$.
(2)已知$\sin2\theta ＜ 0$，且$|\sin\theta| = -\sin\theta$，判断点$P(\tan\theta,\cos\theta)$在第几象限.

答案： 2.
(1)解:①
∵145°角是第二象限角,
∴sin145° ＞ 0.
∵ -210° = -360°+150°,
∴ -210°角是第二象限角,
∴cos(-210°) ＜ 0,
∴sin145°cos(-210°) ＜ 0.
②
∵$\frac{π}{2}$ ＜ 3 ＜ π,$\frac{3π}{2}$ ＜ 4 ＜ 2π,$\frac{3π}{2}$ ＜ 5 ＜ 2π,
∴sin3 ＞ 0,cos4 ＜ 0,tan5 ＜ 0,
∴sin3cos4tan5 ＞ 0.
(2)解:
∵sin2θ ＜ 0,
∴π + 2kπ ＜ 2θ ＜ 2π + 2kπ(k∈Z),
∴$\frac{π}{2}$+kπ ＜ θ ＜ π + kπ,即θ为第二或第四象限角.又|sinθ| = -sinθ,sinθ ≤ 0,
∴θ是第四象限角,tanθ ＜ 0,cosθ ＞ 0,
∴点P(tanθ,cosθ)在第二象限.