《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

1.(指数型函数的定义域)函数$y=\frac{1}{2^x -1}$的定义域为 (D)

A.$\mathbf{R}$
B.$(0,+\infty)$
C.$(-\infty,0)$
D.$\{x|x\neq0,x\in\mathbf{R}\}$

答案： 1.D

2.(指数函数的图象)函数$y=a^{x-\frac{1}{a}}(a＞0$，且$a\neq1)$的图象可能是

答案： 2.D

3.(指数函数图象的应用)当$a＞0$，且$a\neq1$时，函数$f(x)=a^{x-2}+1$的图象过定点$(2,2)$.

答案： 3.$(2,2)$

4.(指数型函数的值域)函数$y=4 - 2^x,x\in[1,2]$的值域是$[0,2]$.

答案： 4.$[0,2]$

例1 如图是指数函数

①$y=a^x$，②$y=b^x$，③$y=c^x$，
④$y=d^x$的图象，则$a,b,c,d$
与$1$的大小关系为 (B)
A.$a＜b＜1＜c＜d$
B.$b＜a＜1＜d＜c$
C.$1＜a＜b＜c＜d$
D.$a＜b＜1＜d＜c$

答案： [解析] 解法一：由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.作直线$x=1$，在第一象限内直线$x=1$与各曲线的交点的纵坐标即各指数函数的底数，则$1＜d ＜c$，$b＜a＜1$，从而可知$a,b,c,d$与1的大小关系为$b＜a＜1＜d＜c$.
解法二：根据图象可以先分两类：③④的底数大于1，①②的底数小于1，再由③④比较$c,d$的大小，由①②比较$a,b$的大小.当指数函数的底数大于1时，图象上升，且底数越大时图象向上越靠近y轴；当底数大于0且小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近x轴.所以$a,b,c,d$与1的大小关系为$b＜a＜1＜d＜c$.
[答案] B

1.(1)如图①②③④不属于函数$y=3^x,y=2^x,y=(\frac{1}{2})^x$中的一个的是 (B)

A.①
B.②
C.③
D.④

答案： 1.
(1)B [由指数函数的图象特点可知，①是$y=(\frac{1}{2})^x$的部分图象，③是$y = 2^x$的部分图象，④是$y = 3^x$的部分图象，所以只有②不是指数函数的图象.故选B.]

(2)函数$f(x)=a^{x - b}$的图象如图所示，其中$a,b$为常数，则下列结论正确的是 (D)

A.$a＞1,b＜0$
B.$a＞1,b＞0$
C.$0＜a＜1,b＞0$
D.$0＜a＜1,b＜0$

答案：

(2)D [由函数$f(x)=a^{x - b}$的图象可知，函数$f(x)=a^{x - b}$在定义域上单调递减，$\therefore 0＜a＜1$.函数$f(x)=a^{x - b}$的图象是由$y = a^x$的图象向左平移所得，$\therefore -b＞0$，$\therefore b＜0$.故选D.]

例2 (1)函数$y=a^{x - 3}+3(a＞0$，且$a\neq1)$的图象过定点 (C)
A.$(0,1)$
B.$(3,3)$
C.$(3,4)$
D.$(4,3)$

答案： $(1)$ 求函数$y = a^{x - 3}+3(a\gt0$，且$a\neq1)$的图象过的定点
对于指数函数$y = a^{x}(a\gt0,a\neq1)$，其图象过定点$(0,1)$。
对于函数$y = a^{x - 3}+3$，令$x - 3 = 0$，即$x = 3$。
当$x = 3$时，$y=a^{0}+3$，根据指数运算性质$a^{0}=1(a\neq0)$，可得$y = 1 + 3=4$。
所以函数$y = a^{x - 3}+3(a\gt0$，且$a\neq1)$的图象过定点$(3,4)$，答案选C。
$(2)$ 求$t$的取值范围
对于函数$y = (\frac{1}{2})^{x}$，其图象过定点$(0,1)$，且在$R$上单调递减。
函数$f(x)=(\frac{1}{2})^{x + 1}+t=(\frac{1}{2})×(\frac{1}{2})^{x}+t$，它是由$y = (\frac{1}{2})^{x}$经过变换得到的。
当$x = 0$时，$f(0)=(\frac{1}{2})^{0 + 1}+t=\frac{1}{2}+t$。
因为函数$f(x)=(\frac{1}{2})^{x + 1}+t$的图象不经过第一象限，则$f(0)\leq0$，即$\frac{1}{2}+t\leq0$。
解不等式$\frac{1}{2}+t\leq0$，移项可得$t\leq-\frac{1}{2}$，所以$t$的取值范围是$(-\infty,-\frac{1}{2}]$，答案选B。
综上，$(1)$选C；$(2)$选B。