《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

例1 中国男子篮球职业联赛(China Basketball Association)，简称中职篮(CBA)，是由中国篮球协会所主办的跨年度主客场制篮球联赛，是中国最高等级的篮球联赛.下列对象能构成一个集合的有哪些?并说明你的理由.
(1)2024～2025赛季，CBA的所有队伍；
(2)CBA中比较著名的球员；
(3)CBA中得分前五位的球员；
(4)CBA中比较高的球员.

答案： 例1 [解] 能构成一个集合的有
(1)
(3).
(1)CBA的所有队伍是确定的，所以可以构成一个集合.
(2)“比较著名”没有衡量的标准，对象不确定，所以不能构成一个集合.
(3)“得分前五位”是确定的，所以可以构成一个集合.
(4)“比较高”没有衡量的标准，对象不确定，所以不能构成一个集合.

1.下列各组对象可以构成集合的是 (B)

A.数学必修第一册课本中所有的难题
B.小于8的所有素数
C.平面直角坐标系中第一象限的一些点
D.所有小的正数

答案： 1.B [A中“难题”的标准不确定，所以不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，所以不能构成集合；D中“小”的标准不确定，所以不能构成集合.故选B.]

例2 (1)下列所给关系正确的个数是 (B)
①$\pi \in \mathbf{R}$；②$\sqrt{2} \notin \mathbf{Q}$；③$0 \in \mathbf{N}_{+}$；④$| - 5| \notin \mathbf{N}_{+}$.
A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 例2
(1)[解析] ①π是实数，所以π∈R正确；②$\sqrt{2}$是无理数，所以$\sqrt{2}$∉Q正确；③0不是正整数，所以0∈N∗错误；④|-5|=5为正整数，所以|-5|∉N∗错误.故选B.
[答案] B

(2)如果具有下述性质的$x$都是集合$M$中的元素，其中$x = a + b\sqrt{2}(a,b \in \mathbf{Q})$，则下列元素中属于集合$M$的是①②④⑤(填序号).
①$x = 0$；②$x = \sqrt{2}$；③$x = 3 - 2\sqrt{2}\pi$；④$x = \frac{1}{3 - 2\sqrt{2}}$；⑤$x = \sqrt{6 - 4\sqrt{2}} + \sqrt{6 + 4\sqrt{2}}$.

答案：
(2)[解析] 当a=b=0时，x=0，①属于集合M；当a=0，b=1时，x=$\sqrt{2}$，②属于集合M；当a=3，b=-2π时，x=3-2$\sqrt{2}$π∉M，③不属于集合M；当a=3，b=2时，x=$\frac{3 + 2\sqrt{2}}{3 - 2\sqrt{2}}=\frac{1}{3 - 2\sqrt{2}}$，④属于集合M；x=$\sqrt{6 - 4\sqrt{2}} + \sqrt{6 + 4\sqrt{2}}$=2-$\sqrt{2}$+2+$\sqrt{2}$=4，当a=4，b=0时，x=4，⑤属于集合M.
[答案] ①②④⑤

2.(1)已知集合$A$含有三个元素2，4，6，且当$a \in A$时，有$6 - a \in A$，那么$a$为 (B)
A.2
B.2或4
C.4
D.0

答案： 2.
(1)B [由题意得，当a=2时，2∈A，6-2=4∈A；当a=4时，4∈A，6-4=2∈A；当a=6时，6∈A，6-6=0∉A，所以a=2或4.故选B.]

(2)集合$A$中的元素$x$满足$\frac{6}{3 - x} \in \mathbf{N}$，且$x \in \mathbf{N}$，则集合$A$中的元素为0,1,2.

答案：
(2)答案：0,1,2
解析：
∵$\frac{6}{3 - x}$∈N，
∴3-x=1或2或3或6，即x=2或1或0或-3.又x∈N，故x=0或1或2.即集合A中的元素为0,1,2.

例3 (1)已知集合$A$只含有两个元素1和$a^{2}$，若$a \in A$，求实数$a$的值.[解] 由题意可知，a=1或$a^{2}$=a.
①若a=1，则$a^{2}$=1，这与$a^{2}$≠1相矛盾，故a≠1.
②若$a^{2}$=a，则a=0或a=1(舍去)，当a=0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意.
综上，实数a的值为0.
(2)已知集合$A$中含有两个元素$x$，$y$，集合$B$中含有两个元素$2x$，$2x^{2}$，且集合$A$与$B$相等，求$x$，$y$的值.[解] 因为集合A中含有两个元素x，y，集合B中含有两个元素2x，$2x^{2}$，所以x≠y，且2x≠$2x^{2}$，所以x≠y，且x≠0，x≠1.
因为集合A与B相等，
所以$\begin{cases}x = 2x\\y = 2x^{2}\end{cases}$或$\begin{cases}x = 2x^{2}\\y = 2x\end{cases}$
由$\begin{cases}x = 2x\\y = 2x^{2}\end{cases}$可得$\begin{cases}x = 0\\y = 0\end{cases}$(舍去).
由$\begin{cases}x = 2x^{2}\\y = 2x\end{cases}$可得$\begin{cases}x = 0\\y = 0\end{cases}$(舍去)或$\begin{cases}x = \frac{1}{2}\\y = 1\end{cases}$.
综上所述，x=$\frac{1}{2}$，y=1.[条件探究] 解：由集合中元素的互异性可知$a^{2}$≠1，即a≠±1.
[条件探究] 本例(1)中，若去掉条件“$a \in A$”，其他条件不变，求实数$a$的取值范围.

答案： 例3
(1)[解] 由题意可知，a=1或$a^{2}$=a.
①若a=1，则$a^{2}$=1，这与$a^{2}$≠1相矛盾，故a≠1.
②若$a^{2}$=a，则a=0或a=1(舍去)，当a=0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意.
综上，实数a的值为0.
(2)[解] 因为集合A中含有两个元素x，y，集合B中含有两个元素2x，$2x^{2}$，所以x≠y，且2x≠$2x^{2}$，所以x≠y，且x≠0，x≠1.
因为集合A与B相等，
所以$\begin{cases}x = 2x\\y = 2x^{2}\end{cases}$或$\begin{cases}x = 2x^{2}\\y = 2x\end{cases}$
由$\begin{cases}x = 2x\\y = 2x^{2}\end{cases}$可得$\begin{cases}x = 0\\y = 0\end{cases}$(舍去).
由$\begin{cases}x = 2x^{2}\\y = 2x\end{cases}$可得$\begin{cases}x = 0\\y = 0\end{cases}$(舍去)或$\begin{cases}x = \frac{1}{2}\\y = 1\end{cases}$.
综上所述，x=$\frac{1}{2}$，y=1.
[条件探究] 解：由集合中元素的互异性可知$a^{2}$≠1，即a≠±1.