《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

知识点一 函数的周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个①，使得对每一个x∈D都有②，且③，那么函数f(x)就叫做周期函数.④​叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的⑤​，那么这个最小⑥就叫做f(x)的⑦
[提醒] (1)关键词“每一个x”体现了对定义域中的每一个值都成立.
(2)周期函数的周期不唯一，任何T的非零整数倍都是函数的周期.
(3)并不是所有的周期函数都存在最小正周期.例如f(x)=C(C为常数，x∈R)是周期函数，但没有最小正周期.
(4)自变量x本身加的常数才是函数的周期，如f(2x+T)=f(2x)中T不是函数的周期，2T​才是函数的周期，因为f(2x+T)=f(2(x+2T​))=f(2x).

答案： ⑪非零常数T ⑫$x+T \in D$ ⑬$f(x+T)=f(x)$ ⑭非零常数T ⑮正数 ⑯正数 ⑰最小正周期

知识点二 正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性


[拓展]正弦函数、余弦函数的对称性

答案： ⑱$2\pi$ ⑲$2\pi$ ⑳奇函数 ㉑偶函数

1.(周期函数的判断)下列是定义在$\mathbf{R}$上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是(D)

答案： 1.D

2.(正、余弦函数的周期性)下列函数中，周期为$\frac{\pi}{2}$的是 (D)

A.$y = \sin\frac{x}{4}$
B.$y = \sin2x$
C.$y = \cos\frac{x}{2}$
D.$y = \cos4x$

答案： 2.D

3.(正、余弦函数的周期性与奇偶性)函数$f(x)=\sin(\frac{\pi}{2}+x)$是 (B)

A.$T = 2\pi$的奇函数
B.$T = 2\pi$的偶函数
C.$T=\pi$的奇函数
D.$T=\pi$的偶函数

答案： 3.B

4.(周期函数的应用)若函数$y = f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上周期为$3$的奇函数，且$f(1)=3$，则$f(5)=$−3.

答案： 4.−3