《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

1. 已知函数$f(x)=2|x - 1| - 3|x|$.
(1)作出函数$f(x)$的图象；
(2)根据函数$f(x)$的图象求其最值.

答案：
1.解:
(1)当$x\geq1$时,$f(x)=2(x - 1)-3x=-x - 2$;
当$0\leq x＜1$时,$f(x)=-2(x - 1)-3x=-5x + 2$;
当$x＜0$时,$f(x)=-2(x - 1)+3x=x + 2$.
所以$f(x)=\begin{cases}-x - 2, & x\geq1 \\ -5x + 2, & 0\leq x＜1 \\ x + 2, & x＜0\end{cases}$

结合上述解析式作出图象如图所示.
(2)由图象可以看出,当$x = 0$时,函数$f(x)$取得最大值,为$f(0)=2$,函数$f(x)$没有最小值.

例 2 已知函数$f(x)=\frac{x - 1}{x + 2}, x \in [3, 5]$.
(1)判断函数$f(x)$的单调性并证明；
(2)求函数$f(x)$的最大值和最小值.

答案： 例2 [解]
(1)函数$f(x)$在$[3,5]$上为增函数.
证明如下：
任取$x_{1},x_{2}\in[3,5]$,且$x_{1}＜x_{2}$,则
$f(x_{1}) - f(x_{2})=\frac{x_{1}-1}{x_{1}+2}-\frac{x_{2}-1}{x_{2}+2}$
$=\frac{(x_{1}-1)(x_{2}+2)-(x_{2}-1)(x_{1}+2)}{(x_{1}+2)(x_{2}+2)}$
$=\frac{x_{1}x_{2}+2x_{1}-x_{2}-2-x_{1}x_{2}-2x_{2}+x_{1}+2}{(x_{1}+2)(x_{2}+2)}$
$=\frac{3(x_{1}-x_{2})}{(x_{1}+2)(x_{2}+2)}$
因为$x_{1},x_{2}\in[3,5]$,且$x_{1}＜x_{2}$,所以$x_{1}-x_{2}＜0,x_{1}+2＞0,x_{2}+2＞0$,所以$f(x_{1}) - f(x_{2})＜0$,因此$f(x_{1})＜f(x_{2})$,所以函数$f(x)$在$[3,5]$上为增函数.
(2)由
(1)知,当$x = 3$时,函数$f(x)$取得最小值,为$f(3)=\frac{2}{5}$;当$x = 5$时,函数$f(x)$取得最大值,为$f(5)=\frac{4}{7}$.

2. 已知函数$f(x)=x + \frac{16}{x}$.
(1)判断函数$f(x)$在$(4, +\infty)$上的单调性并证明；
(2)求函数$f(x)$在$[6, 9]$上的最值.

答案： 2.解:
(1)函数$f(x)$在$(4,+\infty)$上单调递增.
证明如下：$\forall x_{1},x_{2}\in(4,+\infty)$,且$x_{1}＞x_{2}$.
则$f(x_{1}) - f(x_{2})=x_{1}+\frac{16}{x_{1}}-(x_{2}+\frac{16}{x_{2}})=(x_{1}-x_{2})+(\frac{16}{x_{1}}-\frac{16}{x_{2}})=(x_{1}-x_{2})+\frac{16(x_{2}-x_{1})}{x_{1}x_{2}}=(x_{1}-x_{2})(1-\frac{16}{x_{1}x_{2}})=(x_{1}-x_{2})\frac{x_{1}x_{2}-16}{x_{1}x_{2}}$
因为$x_{1}＞4,x_{2}＞4$,所以$x_{1}x_{2}＞16$,即$x_{1}x_{2}-16＞0$,又因为$x_{1}＞x_{2}$,则$x_{1}-x_{2}＞0$,所以$f(x_{1}) - f(x_{2})＞0$,即$f(x_{1})＞f(x_{2})$,故函数$f(x)$在$(4,+\infty)$上单调递增.
(2)由
(1)知,函数$f(x)$在$(4,+\infty)$上单调递增,所以函数$f(x)$在$[6,9]$上单调递增,故函数$f(x)$在$[6,9]$上的最小值为$f(6)=6+\frac{16}{6}=\frac{26}{3}$,最大值为$f(9)=9+\frac{16}{9}=\frac{97}{9}$.

例 3 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为$x(x \in \mathbf{N}_+)$件. 当$x \leq 20$时，年销售总收入为$(33x - x^2)$万元；当$x ＞ 20$时，年销售总收入为260万元. 记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为$y$万元(年利润 = 年销售总收入 - 一年总投资).
(1)求$y$(单位：万元)与$x$(单位：件)的函数关系式；
(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？

答案： 例3 [解]
(1)当$0＜x\leq20$时,$y=(33x - x^{2})-x - 100=-x^{2}+32x - 100$;当$x＞20$时,$y=260 - 100 - x = 160 - x$.
故$y=\begin{cases}-x^{2}+32x - 100, & 0＜x\leq20,x\in N_{+} \\ 160 - x, & x＞20,x\in N_{+}\end{cases}$
(2)当$0＜x\leq20$时,$y=-x^{2}+32x - 100=-(x - 16)^{2}+156$,当$x = 16$时,$y$取得最大值,为156.而当$x＞20$时,$160 - x＜140$,故当$x = 16$时年利润最大,最大年利润为156万元.
即当该工厂年产量为16件时,所得年利润最大,为156万元.