《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

(2)要使$f(x)=(\frac{1}{2})^{x+1}+t$的图象不经过第一象限，则$t$的取值范围是 (B)
A.$[-1,+\infty)$
B.$(-\infty,-\frac{1}{2}]$
C.$[-\frac{1}{2},+\infty)$
D.$(-\infty,-1]$

答案： 解：函数$y = (\frac{1}{2})^{x}$的图象过定点$(0,1)$，$f(x)=(\frac{1}{2})^{x + 1}+t=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2})^{x}+t$。
当$x = 0$时，$f(0)=\frac{1}{2}+t$。
因为$f(x)=(\frac{1}{2})^{x + 1}+t$的图象不经过第一象限，则$f(0)=\frac{1}{2}+t\leqslant0$，
解得$t\leqslant-\frac{1}{2}$，即$t$的取值范围是$(-\infty,-\frac{1}{2}]$。
所以答案是B。

2.(1)函数$y=a^{2x + 1}+1(a＞0$，且$a\neq1)$的图象过定点$(-\frac{1}{2},2)$.
(2)若直线$y=2a$与函数$y=|a^x - 1|+1(a＞0$，且$a\neq1)$的图象有两个公共点，则$a$的取值范围是$(\frac{1}{2},1)$.

答案：
2.
(1)答案：$(-\frac{1}{2},2)$
解析：令$2x + 1=0$，得$x=-\frac{1}{2}$，$y = 2$，所以函数的图象过定点$(-\frac{1}{2},2)$.
(2)答案：$(\frac{1}{2},1)$
解析：当$a＞1$时，通过平移变换和翻折变换可得如图1所示的图象，则由图可知$1＜2a＜2$，即$\frac{1}{2}＜a＜1$，与$a＞1$矛盾；当$0＜a＜1$时，同样通过平移变换和翻折变换可得如图2所示的图象，则由图可知$1＜2a＜2$，即$\frac{1}{2}＜a＜1$.综上，$a$的取值范围是$(\frac{1}{2},1)$.

例3 求下列函数的定义域和值域：
(1)$y=2^\frac{1}{x - 3}$；
(2)$y=(\frac{2}{3})^{-|x|}$；
(3)$y=2^x+2^{2 - x}$.

答案： [解]
(1)$x$应满足$x - 4\neq0$，$\therefore x\neq4$，$\therefore$函数$y = 2^{\frac{1}{x - 4}}$的定义域为$\{x|x\neq4,x\in\mathbf{R}\}$.
$\because\frac{1}{x - 4}\neq0$，$\therefore2^{\frac{1}{x - 4}}\neq1$，$\therefore$函数$y = 2^{\frac{1}{x - 4}}$的值域为$\{y|y＞0$，且$y\neq1\}$.
(2)函数$y = (\frac{2}{3})^{-|x|}$的定义域为$\mathbf{R}$.
$\because|x|\geq0$，$\therefore y = (\frac{2}{3})^{-|x|}=(\frac{3}{2})^{|x|}\geq(\frac{3}{2})^0 = 1$，$\therefore$函数$y = (\frac{2}{3})^{-|x|}$的值域为$[1,+\infty)$.
(3)函数$y = 2^x+2^{2 - x}$的定义域为$\mathbf{R}$.
$\because y = 2^x+2^{2 - x}=2^x+\frac{4}{2^x}\geq2\sqrt{2^x·\frac{4}{2^x}} = 4$，$\therefore$函数$y = 2^x+2^{2 - x}$的值域为$[4,+\infty)$.

3.求下列函数的定义域、值域：
(1)$y=\frac{3^x}{1+3^x}$；
(2)$y=4^x - 2^x + 1$.

答案： 解：
(1)函数的定义域为$\mathbf{R}$.
$\because y=\frac{3^x}{1 + 3^x}=\frac{(1 + 3^x) - 1}{1 + 3^x}=1-\frac{1}{1 + 3^x}$
又$3^x＞0$，$\therefore1 + 3^x＞1$，$\therefore0＜\frac{1}{1 + 3^x}＜1$，$\therefore - 1＜-\frac{1}{1 + 3^x}＜0$，$\therefore0＜1-\frac{1}{1 + 3^x}＜1$，$\therefore$函数的值域为$(0,1)$.
(2)函数的定义域为$\mathbf{R}$.
$y = 4^x - 2^x + 1=(2^x)^2 - 2^x + 1=(2^x - \frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}$
$\because2^x＞0$，$\therefore$当$2^x=\frac{1}{2}$，即$x = - 1$时，$y$取最小值$\frac{3}{4}$，$\therefore$函数的值域为$[\frac{3}{4},+\infty)$.