《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

例3 已知扇形的周长为$8 cm$.
(1)若该扇形的圆心角为$0.5 rad$，求该扇形的面积；
(2)求该扇形的面积的最大值，并指出对应的圆心角.
[条件探究] 在本例中，若“周长为$8 cm$”改为“面积为$8 cm^2$”，求当扇形的圆心角、半径各为多少时，该扇形的周长最小？最小值为多少？

答案： 例3 [解] 设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为$\alpha$，扇形的面积为S.
(1)由题意，得2r+l=8，l=0.5r，
解得r=3.2cm，l=1.6cm，
所以S=$\frac {1}{2}$lr=2.56(cm²).
(2)由2r+l=8，得l=8-2r，r∈(0,4)，
则S=$\frac {1}{2}$lr=$\frac {1}{2}$(8-2r)r=4r-r²=-(r-2)²+4，
当r=2cm时，Smax=4cm²，
此时l=4cm，圆心角$\alpha$=$\frac {l}{r}$=2.
[条件探究] 解设扇形的半径为r，圆心角为$\alpha$，面积为S，
则由S=$\frac {1}{2}\alpha r^{2}$=8，得$\alpha r^{2}$=16.
所以该扇形的周长C=2r+$\alpha r$≥2$\sqrt {2\alpha r · 2r}$=2$\sqrt {2\alpha r^{2}}$=8$\sqrt {2}$(cm)，当且仅
当$\alpha$=2，r=2$\sqrt {2}$cm时，等号成立，故当扇形的圆心角为2，
半径为2$\sqrt {2}$cm时，该扇形的周长最小，最小值为8$\sqrt {2}$cm.

3.已知扇形的圆心角为$\alpha$，半径为$R$，弧长为$l$，面积为$S$.
(1)若$\alpha = 7 5 ^ { \circ }$，$R = 1 2 cm$，求扇形的弧长$l$和面积$S$；
(2)若扇形的周长为$2 0 cm$，当扇形的圆心角$\alpha$为多少弧度时，这个扇形的面积$S$最大？

答案： 3.解
(1)因为$\alpha$=75$^{\circ}$=$\frac {5\pi}{12}$，所以l=$\alpha R$=$\frac {5\pi}{12}$×12=5$\pi$(cm)，
S=$\frac {1}{2}$lR=30$\pi$(cm²).
(2)由已知，得l+2R=20，
则l=20-2R，0＜R＜10.
所以S=$\frac {1}{2}$lR=$\frac {1}{2}$(20-2R)R=4R-R²=-(R-5)²+25，
所以当R=5时，S取得最大值25.
此时l=10cm，$\alpha$=2rad.

1.将$\frac { 2 } { 3 }$弧度化为角度的结果为(A)

A.$\left ( \frac { 1 2 0 } { \pi } \right ) ^ { \circ }$
B.$1 2 0 ^ { \circ }$
C.$\left ( \frac { \pi } { 2 7 0 } \right ) ^ { \circ }$
D.$2 7 0 ^ { \circ }$

答案： 1.A
∵1rad=$(\frac {180}{\pi})^{\circ}$，
∴$\frac {2}{3}$rad=$\frac {2}{3}$×$(\frac {180}{\pi})^{\circ}$=$(\frac {120}{\pi})^{\circ}$.

2.已知$\alpha = - 3 rad$，则角$\alpha$的终边在(C)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 2.C
∵$\alpha$=-3rad≈-3×57.30$^{\circ}$=-171.9$^{\circ}$，
∴角$\alpha$的终边在第三象限.故选C.

3.工艺扇面是中国书面一种常见的表现形式.某同学想用布料制作一面如图所示的扇面.已知扇面展开的中心角为$1 2 0 ^ { \circ }$，外圆半径为$2 0 cm$，内圆半径为$1 0 cm$.则制作这样一面扇面需要的布料为(B)


A.$\frac { 1 0 0 \pi } { 3 } cm^2$
B.$1 0 0 \pi cm^2$
C.$4 0 0 \pi cm^2$
D.$\frac { 4 0 0 \pi } { 3 } cm^2$

答案： 3.B [扇形的圆心角为120$^{\circ}$=$\frac {2\pi}{3}$，大扇形的面积为$\frac {1}{2}$×$\frac {2\pi}{3}$×20²=$\frac {400\pi}{3}$，小扇形的面积为$\frac {1}{2}$×$\frac {2\pi}{3}$×10²=$\frac {100\pi}{3}$，所以制作这样一面扇面需要的布料为$\frac {400\pi}{3}$-$\frac {100\pi}{3}$=100$\pi$cm².
故选B.]

4.若把$- 5 7 0 ^ { \circ }$写成$2 k \pi + \alpha ( k \in \mathbf { Z } , 0 \leqslant \alpha ＜ 2 \pi )$的形式，则$\alpha =$$\frac {5\pi}{6}$.

答案： 4.答案 $\frac {5\pi}{6}$
解析因为-570$^{\circ}$=-$\frac {19\pi}{6}$=-4$\pi$+$\frac {5\pi}{6}$，所以$\alpha$=$\frac {5\pi}{6}$

5.若弧长为$1$，圆心角为$2$弧度的扇形，其面积为$S$，则$\frac { 1 } { \sqrt { S } } =$2，扇形的周长为2.

答案： 5.答案2 2
解析设扇形的半径为R，弧长为l.因为扇形的半径R=$\frac {l}{\alpha}$=$\frac {1}{2}$，所以扇形的面积S=$\frac {1}{2}$lR=$\frac {1}{2}$×1×$\frac {1}{2}$=$\frac {1}{4}$.所以$\frac {1}{\sqrt {S}}$$\sqrt {\frac {1}{4}}$=2，扇形的周长为l+2R=1+2×$\frac {1}{2}$=2.