《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

1. 函数$y = \log_a (x - 1) (0＜a＜1)$的图象大致是
(A)

答案： 1.A　[
∵0＜a＜1,
∴y=logₐx在(0,+∞)上单调递减.又函数y=logₐ(x−1)的图象是由y=logₐx的图象向右平移一个单位长度得到的，故选A.]

2. 已知$\log_{\frac{1}{2}} x＜\log_{\frac{1}{2}} y$，则
(D)

A.$y \geq x$
B.$x \leq y$
C.$x＜y$
D.$x＞y$

答案： 2.D [由对数函数y=log₍₁/₂₎x在(0,+∞)上单调递减,得x＞y＞0.故选D.]

3. 已知$a = \log_{\frac{1}{3}} 4$，$b = \log_2 3$，$c = 2^{-0.3}$，则$a$，$b$，$c$的大小关系是
(D)

A.$a＞b＞c$
B.$b＞a＞c$
C.$c＞a＞b$
D.$b＞c＞a$

答案： 3.D　[因为a=log₄$\frac{1}{4}$＜log₄1=0,b=log₂3＞log₂2=1,0＜c =2⁻⁰.³＜2⁰=1,所以b＞c＞a.故选D.]

4. 函数$f(x) = \log_a (x - 4) (a＞0$，且$a \neq 1)$的图象恒过定点(5,0).

答案： 4.答案:(5,0)
解析:令x−4=1,解得x=5,所以函数f(x)的图象恒过定点(5,0).

5. 不等式$\log_2 (5 + x)＞\log_2 (1 - x)$的解集为{x｜−2＜x＜1}.

答案： 5.答案:{x｜−2＜x＜1}
解析:由题意，得$\begin{cases}5 + x ＞ 0 \\ 1 - x ＞ 0 \\ 5 + x ＞ 1 - x\end{cases}$，解得−2＜x＜1.故所求不等式的解集为{x｜−2＜x＜1}.

知识点一 反函数的概念
一般地，指数函数$y = a^{x}(a＞0$，且$a\neq1)$与对数函数$y = \log_{a}x(a＞0$，且$a\neq1)$互为[1]反函数 ，它们的定义域与值域正好[2]互换

答案： ⑴反函数 ⑵互换

1.(对数函数的反函数)函数$y = \log_{a}x(a＞0$，且$a\neq1)$的反函数的图象过点$(2,9)$，则$a=$(D)

A.$\frac{1}{2}$
B.$2$
C.$\frac{1}{3}$
D.$3$

答案： 1.D

2.(指数函数的反函数)函数$y = (\frac{1}{3})^{x}$的反函数为$y=\log_{\frac{1}{2}}x$

答案： 2.$y=\log_{\frac{1}{2}}x$

3.(与对数函数有关的值域问题)函数$f(x)=\ln(x^{2}+1)$的值域是$[0,+\infty)$

答案： 3.$[0,+\infty)$