《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

1.已知$a,b,c$均为正数，且$a + b + c = 1$. 求证：
$(a+\frac{1}{a})+(b+\frac{1}{b})+(c+\frac{1}{c})\geq10$.

答案： 1.证明:$\because (a+\frac {1}{a})+(b+\frac {1}{b})+(c+\frac {1}{c})$
$=(a+\frac {a+b+c}{a})+(b+\frac {a+b+c}{b})+(c+\frac {a+b+c}{c})$
$=4+(\frac {b}{a}+\frac {a}{b})+(\frac {c}{a}+\frac {a}{c})+(\frac {c}{b}+\frac {b}{c})\geqslant 4+2+2+2$
$=10$，当且仅当$a=b=c=\frac {1}{3}$时，等号成立，
$\therefore (a+\frac {1}{a})+(b+\frac {1}{b})+(c+\frac {1}{c})\geqslant 10$.

例 2 为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，我校计划沿着围墙(足够长)划出一块面积为

100 平方米的矩形区域$ABCD$修建一个羊驼养殖场，规定矩形$ABCD$的每条边长均不超过 20 米.
如图所示，矩形$EFGH$为羊驼养殖区，且点$A,B,E,F$四点共线，阴影部分为 1 米宽的鹅卵石小径. 设$AB = x$(单位：米)，养殖区域$EFGH$的面积为$S$(单位：平方米).
(1)将$S$用$x$来表示，并写出$x$的取值范围；
(2)当$AB$为多长时，$S$取得最大值？并求出此最大值.

答案： 例2 [解]
(1)因为$AB=x$，所以$AD=\frac {100}{x},EF=x-2$，
$FG=\frac {100}{x}-1$，
所以$S=(x-2)(\frac {100}{x}-1)=102-\frac {200}{x}-x$，
因为$0＜x\leqslant 20,0＜\frac {100}{x}\leqslant 20$，所以$5\leqslant x\leqslant 20$，
所以$S=102-\frac {200}{x}-x,5\leqslant x\leqslant 20$.
(2)$S=102-\frac {200}{x}-x\leqslant 102-2\sqrt {\frac {200}{x}· x}=102-20\sqrt {2}$.
当且仅当$x=\frac {200}{x}$时，等号成立，经验证，符合题意，
即当$AB=10\sqrt {2}$米时，$S$取得最大值，为$(102-20\sqrt {2})$平方米.

2.某人准备租一辆车从孝感出发去武汉，已知从出发点到目的地的距离为 100 km，按交通法规：这段公路车速限制在$40\sim100$(单位：km/h)之间. 假设目前油价为 7.2 元/L，汽车的耗油率为$(3+\frac{x^{2}}{360}) L/h$，其中$x$(单位：km/h)为汽车的行驶速度，耗油率指汽车每小时的耗油量.
租车需付给司机的工资为每小时 76.4 元，不考虑其他费用，这次租车的总费用最少是多少？
此时的车速$x$是多少？(注：租车总费用 = 耗油费 + 司机的工资)

答案： 2.解：设总费用为$y$元.
由题意，得$y=76.4× \frac {100}{x}+7.2× \frac {100}{x}× (3+\frac {x^{2}}{360})=\frac {9800}{x}+2x(40\leqslant x\leqslant 100)$.
因为$y=\frac {9800}{x}+2x\geqslant 2\sqrt {\frac {9800}{x}· 2x}=280$，
当且仅当$\frac {9800}{x}=2x$，即$x=70$时，等号成立，符合题意，
所以这次租车的总费用最少是280元，此时的车速为$70 km/h$.