《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

3.求下列各式中$x$的值：
(1)$\lg0.01 = x$；
(2)$\log_{7}(x + 2)=2$；
(3)$x=\log_{\frac{1}{2}}32$.

答案： 3.解：
(1)因为$\lg0.01 = x$，
所以$10^{x} = 0.01 = 10^{-2}$，所以$x = -2$.
(2)因为$\log_{7}(x + 2) = 2$，所以$x + 2 = 7^{2}$，
解得$x = 47$.
(3)由$x = \log_{\frac{1}{2}}32$，可得$(\frac{1}{2})^{x} = 32$，即$2^{-x} = 2^{5}$，
解得$x = -5$.

例$4$求下列各式中$x$的值：
(1)$\log_{2}(\log_{5}x)=0$；
(2)$\log_{3}(\lg x)=1$；
(3)$\log_{3}[\log_{4}(\log_{5}x)]=0$；
(4)$3^{\log_{3}\sqrt{x}}=9$.
[条件探究]本例(3)中若将“$\log_{3}[\log_{4}(\log_{5}x)]=0$”改为“$\log_{3}[\log_{4}(\log_{5}x)]=1$”，又如何求解$x$的值呢?
[结论探究]在本例(3)条件下，计算$625^{\log_{5}3}$的值.

答案： 例4 [解]
(1)因为$\log_{2}(\log_{5}x) = 0$，
所以$\log_{5}x = 2^{0} = 1$，所以$x = 5^{1} = 5$.
(2)因为$\log_{3}(\lg x) = 1$，
所以$\lg x = 3^{1} = 3$，所以$x = 10^{3} = 1000$.
(3)由$\log_{3}[\log_{4}(\log_{5}x)] = 0$，
可得$\log_{4}(\log_{5}x) = 1$，
故$\log_{5}x = 4$，所以$x = 5^{4} = 625$.
(4)由$3^{\log_{3}\sqrt{x}} = 9$，可得$\sqrt{x} = 9$，解得$x = 81$.
[条件探究] 解：因为$\log_{3}[\log_{4}(\log_{5}x)] = 1$，
所以$\log_{4}(\log_{5}x) = 3$，
则$\log_{5}x = 4^{3} = 64$，所以$x = 5^{64}$.
[结论探究] 解：因为$x = 625$，所以$625^{\log_{625}3} = 3$.

4.(1)已知$\log_{2}[\log_{3}(\log_{4}x)]=\log_{3}[\log_{4}(\log_{2}y)]=0$，求$x + y$的值.
(2)求$3^{1+\log_{6}6}-2^{4+\log_{2}3}+10^{3\lg3}+(\frac{1}{9})^{\log_{3}4}$的值.

答案： 4.
(1)解：因为$\log_{2}[\log_{3}(\log_{4}x)] = 0$，所以$\log_{3}(\log_{4}x) = 1$，所以$\log_{4}x = 3$.所以$x = 4^{3} = 64$.同理求得$y = 16$.所以$x + y = 80$.
(2)解：原式$= 3^{1} × 3^{3\log_{3}2} - 2^{1} × 2^{\log_{2}3} + (10^{\lg3})^{3} + 3^{-2\log_{3}4}$$= 3 × 6 - 16 × 3 + 3^{3} + (3^{\log_{3}4})^{-2}$$= 18 - 48 + 27 + \frac{1}{16} = -\frac{47}{16}$