《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

例1
(1)设全集$U = \{x|x$是小于$5$的非负整数$\}$，$A = \{2, 4\}$，则$\complement_U A =$$\{0, 1, 3\}$.
(2)已知全集为$\mathbf{R}$，集合$A = \{x|x ＜ 1,或x\geqslant 5\}$，则$\complement_{\mathbf{R}}A =$$\{x \mid 1 \leq x ＜ 5\}$.
(3)已知全集$U$，集合$A = \{1, 3, 5, 7\}$，$\complement_U A = \{2, 4, 6\}$，$\complement_U B = \{1, 4, 6\}$，则集合$B =$$\{2, 3, 5, 7\}$.

答案：
例1
(1)[解析] 由题意，知$U = \{0, 1, 2, 3, 4\}$，又$A = \{2, 4\}$，所以$\complement_U A = \{0, 1, 3\}$．
[答案] $\{0, 1, 3\}$
(2)[解析] 在数轴上画出集合A，由数轴，得$\complement_R A = \{x \mid 1 \leq x ＜ 5\}$．
　　　　　　
[答案] $\{x \mid 1 \leq x ＜ 5\}$
(3)[解析] 因为集合$A = \{1, 3, 5, 7\}$，$\complement_U A = \{2, 4, 6\}$，所以$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$．又$\complement_U B = \{1, 4, 6\}$，所以$B = \{2, 3, 5, 7\}$．
[答案] $\{2, 3, 5, 7\}$

1.(1)(新课标Ⅰ卷)设全集$U = \{x|x$是小于$9$的正整数$\}$，集合$A = \{1, 3, 5\}$，则$\complement_U A$中的元素个数为 (C)
A.$0$
B.$3$
C.$5$
D.$8$
(2)若集合$A = \{x|-1\leqslant x ＜ 1\}$，当$S$分别取下列集合时，求$\complement_S A$.
①$S = \mathbf{R}$；
②$S = \{x|x\leqslant 2\}$；
③$S = \{x|-4\leqslant x\leqslant 1\}$.

答案：
1.
(1)C [因为$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$，$A = \{1, 3, 5\}$，所以$\complement_U A = \{2, 4, 6, 7, 8\}$，则$\complement_U A$中的元素个数为 5. 故选 C.]
(2)解：①把集合 A 表示在数轴上，如图所示.
　　　　　　　−2−10
由图知$\complement_S A = \{x \mid x ＜ -1$，或$x \geq 1\}$．
②把集合 S 和 A 表示在数轴上，如图所示.
　　　　　　　
由图知$\complement_S A = \{x \mid x ＜ -1$，或$1 \leq x \leq 2\}$．
③把集合 S 和 A 表示在数轴上，如图所示.
　　　　　　−4−3−2−101x
由图知$\complement_S A = \{x \mid -4 \leq x ＜ -1$，或$x = 1\}$．

例2
(1)已知$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$，$A = \{3, 4, 5\}$，$B = \{4, 7, 8\}$，求$(\complement_U A)\cap(\complement_U B)$，$A\cap(\complement_U B)$，$(\complement_U A)\cup B$.
(2)设全集为$\mathbf{R}$，$A = \{x|3\leqslant x ＜ 7\}$，$B = \{x|2 ＜ x ＜ 10\}$，求$\complement_{\mathbf{R}}B$，$\complement_{\mathbf{R}}(A\cup B)$及$(\complement_{\mathbf{R}}A)\cap B$.

答案：
例2
(1)[解] 解法一：因为$\complement_U A = \{1, 2, 6, 7, 8\}$，$\complement_U B = \{1, 2, 3, 5, 6\}$，所以$(\complement_U A) \cap (\complement_U B) = \{1, 2, 6\}$，$A \cap (\complement_U B) = \{3, 5\}$，$(\complement_U A) \cup B = \{1, 2, 4, 6, 7, 8\}$．
解法二：画出 Venn 图，如图所示，由图可得$(\complement_U A) \cap (\complement_U B) = \{1, 2, 6\}$，$A \cap (\complement_U B) = \{3, 5\}$，$(\complement_U A) \cup B = \{1, 2, 4, 6, 7, 8\}$．
　　　　　　　　　　　　　　　
(2)[解] 把集合 A，B 在数轴上表示如下：
　　　　　
由图知$\complement_R B = \{x \mid x \leq 2$，或$x \geq 10\}$，$A \cup B = \{x \mid 2 ＜ x ＜ 10\}$，所以$\complement_R (A \cup B) = \{x \mid x \leq 2$，或$x \geq 10\}$．因为$\complement_R A = \{x \mid x ＜ 3$，或$x \geq 7\}$，所以$(\complement_R A) \cap B = \{x \mid 2 ＜ x ＜ 3$，或$7 \leq x ＜ 10\}$．

2.(1)(全国乙卷)设集合$U = \mathbf{R}$，集合$M = \{x|x ＜ 1\}$，$N = \{x|-1 ＜ x ＜ 2\}$，则$\{x|x\geqslant 2\}=$
(A)
A.$\complement_U(M\cup N)$
B.$N\cup\complement_U M$
C.$\complement_U(M\cap N)$
D.$M\cup\complement_U N$
(2)已知全集$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$，集合$M = \{1, 3, 6\}$，$P = \{3, 4, 5\}$，则Venn图中阴影部分表示的集合是$\{2, 3, 7, 8\}$.

答案： 2.
(1)A [由题意可得$M \cup N = \{x \mid x ＜ 2\}$，则$\complement_U (M \cup N) = \{x \mid x \geq 2\}$，A 正确；$\complement_U M = \{x \mid x \geq 1\}$，则$N \cup \complement_U M = \{x \mid x ＞ -1\}$，B 错误；$M \cap N = \{x \mid -1 ＜ x ＜ 1\}$，则$\complement_U (M \cap N) = \{x \mid x \leq -1$，或$x \geq 1\}$，C 错误；$\complement_U N = \{x \mid x \leq -1$，或$x \geq 2\}$，则$\complement_U N = \{x \mid x \leq -1$，或$x \geq 2\}$，D 错误．故选 A.]
(2)答案:$\{2, 3, 7, 8\}$
解析：由于全集$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$，集合$M = \{1, 3, 6\}$，$P = \{3, 4, 5\}$，故$M \cup P = \{1, 3, 4, 5, 6\}$，$M \cap P = \{3\}$，则$\complement_U (M \cup P) = \{2, 7, 8\}$，故 Venn 图中阴影部分表示的集合为$[\complement_U (M \cup P)] \cup (M \cap P) = \{2, 3, 7, 8\}$．