《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

典例3 设函数$f(x)=\left\{\begin{array}{l} 2^{x},x\geqslant 0,\\ -x,x＜0,\end{array}\right. g(x)=f(x)+k$.
(1)函数$f(x)$有零点吗？
(2)为了使方程$g(x)=0$有且只有一个根，k应该怎样限制？
(3)当$k=-1$时，函数$g(x)$有零点吗？如果有，把它求出来；如果没有，请说明理由.

答案：
典例3 [解]
(1)画出函数f(x)的图象，如图1，可以看出，图象与x轴没有交点，故函数f(x)没有零点。

(2)从图1可以看出f(x)＞0。对于g(x)=f(x)+k，为了使方程g(x)=0有且只有一个根，f(x)的图象必须向下移动，但移动的幅度要小于1，否则g(x)=0就有两个根了。所以k应限制为-1＜k＜0。几何解释如图2。

(3)有。由2^x-1=0，得x=0；由-x-1=0，得x=-1。0和-1均是函数g(x)的零点。

[素养训练3] (1)已知函数$f(x)=x+2^{x},g(x)=x+\ln x,h(x)=x-\sqrt{x}-1$的零点分别为$x_{1},x_{2},x_{3}$，则$x_{1},x_{2},x_{3}$的大小关系是x1＜x2＜x3.
(2)已知函数$f(x)=\left\{\begin{array}{l} \frac{3}{x-1},x\geqslant 2,\\ |2^{x}-1|,x＜2,\end{array}\right.$若方程$f(x)-a=0$有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是 ______ .

答案：
[素养训练3]
(1)答案：x1＜x2＜x3解析：令x+2^x=0，得2^x=-x；令x+ln x=0，得ln x=-x；在同一平面直角坐标系中画出y=2^x，y=ln x，y=-x的图象，如图，可知x1＜0＜x2＜1。令h(x)=x-√x-1=0，则$(√x)^2-√x-1=0，$所以√x=(1+√5)/2，即$x3=((1+√5)/2)^2＞1，$所以x1＜x2＜x3。
(2)答案：(0,1)解析：画出f(x)的图象如图所示，要使方程f(x)-a=0有三个不同的实数解，则需f(x)的图象与直线y=a有三个交点，由图可知，实数a的取值范围是(0,1)。

典例4 某工厂因排污比较严重，决定着手整治，整治后前四个月的污染度如下表：

(1)试问用哪个函数模拟比较合理，并说明理由(参考数据：$\log_{2}3\approx 1.58$)；
(2)若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60？

答案： 典例4 [解]
(1)用h(x)模拟比较合理，理由如下：
f
(2)=40，g
(2)≈26.7，h
(2)=30；
f
(3)=20，g
(3)≈6.7，h
(3)≈12.6。
由此可得h(x)更接近实际值，
所以用h(x)模拟比较合理。
(2)因为h(x)=30|$log_2 x-2$|在[4,+∞)上是增函数，h
(16)=60，所以整治后有16个月的污染度不超过60。

[素养训练4] 某野生核桃树在自然繁衍的初始阶段，累计野生核桃树棵数N(单位：棵)与时间t(单位：年)的关系为$N(t)=a· (2e)^{mt}$，其中指数m与野生核桃树品种在自然繁衍的初始阶段的棵数$N_{0}$相关，相邻两代的平均时间T(单位：年)近似满足$m=\frac{T}{N_{0}-1}$，若已经测算出$N_{0}=17.9,T=2.3$.据此，累计野生核桃树棵数增加1倍需要的时间约为($\ln 2\approx 0.69$) (C)

A.1年
B.2年
C.3年
D.4年

答案： [素养训练4] C [因为N0=17.9，T=2.3，所以m=2.3/(17.9-1)=23/169，所以N(t)=a·(2e)^((23/169)t)，设累计野生核桃树棵数增加1倍需要的时间为t1年，则a·(2e)^((23/169)(t+t1))=2a·(2e)^((23/169)t)，所以(2e)^((23/169)t1)=2，所以(23/169)t1=log_(2e) 2=ln2/(ln2+1)≈0.69/1.69=69/169，所以t1≈69/23=3。故选C。]