《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

3. 设集合$A = \{x\mid x^2 + 4x = 0\}$，$B = \{x\mid x^2 + 2(a + 1)x + a^2 - 1 = 0\}$.
(1)若$B\subseteq A$，求实数$a$的取值范围；
(2)若$A\subseteq B$，求实数$a$的取值范围.

答案： 3.解:
(1)$A=\{ x|x^{2}+4x = 0\}=\{ -4,0\}$,
因为$B\subseteq A$,所以分$B = A$和$B\subsetneqq A$两种情况讨论:
①当$B = A$时,$B = \{ -4,0\}$,即 -4,0 是方程$x^{2}+2(a + 1)x + a^{2}-1 = 0$的两根,于是得$a = 1$.
②当$B\subsetneqq A$时,若$B = \emptyset $,则$\Delta = 4(a + 1)^{2}-4(a^{2}-1)＜0$,解得$a＜-1$;
若$B\neq \emptyset $,则$B = \{ -4\}$或$\{ 0\}$,$\Delta = 4(a + 1)^{2}-4(a^{2}-1)=0$,解得$a = -1$,验证知$B = \{ 0\}$满足条件.
综上,实数 a 的取值范围为$\{ a|a = 1$,或$a\leqslant - 1\}$.
(2)因为$A\subseteq B,A = \{ -4,0\}$,所以集合 B 中必含这两个元素.
又集合 B 为方程$x^{2}+2(a + 1)x + a^{2}-1 = 0$的根构成的集合,最多有 2 个元素,所以此时必有$A = B$.
由
(1)知,此时$a = 1$. 故实数 a 的值为 1.

1. 在①$1\subseteq\{0,1,2\}$；②$\{1\}\in\{0,1,2\}$；③$\{0,1,2\}\subseteq\{0,1,2\}$；④$\varnothing\subsetneqq\{0\}$四个关系中，错误的个数是 (B)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 1.B $[1\in \{ 0,1,2\}$,所以①错误;$\{ 1\}\subseteq \{ 0,1,2\}$,所以②错误;③④正确.]

2. 已知集合$A = \{x\in N\mid x - 4\leqslant -1\}$，则集合$A$的真子集的个数为 (C)

A.4
B.8
C.15
D.16

答案： 2.C $[A=\{ x\in N|x - 4\leqslant - 1\}=\{ x\in N|x\leqslant 3\}=\{ 0,1,2,3\}$,即集合 A 中含有 4 个元素,其真子集有$2^{4}-1 = 15$个. 故选 C.]

3. 能正确表示集合$M = \{x\in R\mid 0\leqslant x\leqslant2\}$和集合$N = \{x\in R\mid x^2 - x = 0\}$关系的Venn图是 (B)

答案： 3.B 由$x^{2}-x = 0$,得$x = 1$或$x = 0$,故$N = \{ 0,1\}$,易得$N\subsetneqq M$,其对应的 Venn 图如 B 所示.

4. 已知$a$，$b\in R$，且$\{a^2 + 1,2\} = \{a + 1,b\}$，则$a - b =$-2.

答案： 4.答案:-2
解析:因为$\{ a^{2}+1,2\} = \{ a + 1,b\}$,所以$\begin{cases}a^{2}+1=a + 1,\\2 = b\end{cases}$或$\begin{cases}a^{2}+1=b,\\2=a + 1.\end{cases}$若$\begin{cases}a^{2}+1=a + 1,\\2 = b,\end{cases}$则$\begin{cases}a = 0,\\b = 2.\end{cases}$或$\begin{cases}a = 1,\\b = 2.\end{cases}$当$a = 0,b = 2$时,$\{ a^{2}+1,2\} = \{ a + 1,b\} = \{ 1,2\}$,此时$a - b = - 2$;当$a = 1,b = 2$时,$a + 1 = b$,不符合集合中元素的互异性. 若$\begin{cases}a^{2}+1=b,\\2=a + 1,\end{cases}$则$\begin{cases}a = 1,\\b = 2,\end{cases}$不符合集合中元素的互异性. 综上所述,$a - b = - 2$.

5. 已知集合$A = \{x\mid 1\leqslant x\leqslant2\}$，$B = \{x\mid 1\leqslant x\leqslant a$，$a\geqslant1\}$.
(1)若$A$是$B$的真子集，则实数$a$的取值范围为$\{ a|a＞2\}$；
(2)若$B$是$A$的子集，则实数$a$的取值范围为$\{ a|1\leqslant a\leqslant 2\}$.

答案：
5.答案:
(1)$\{ a|a＞2\}$
(2)$\{ a|1\leqslant a\leqslant 2\}$
解析:
(1)若$A\subsetneqq B$,由图可知$a＞2$.

(2)若$B\subseteq A$,由图可知$1\leqslant a\leqslant 2$.