《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

例 1 (1) 已知sin(3π​−α)=31​，则cos(6π​+α)=31​.
(2) 化简：sin(44k−1​π−α)+cos(44k+1​π−α)(k∈Z).
(3) 化简：$\frac{\cos(-\pi+\alpha)\cos(\frac{3\pi}{2}+\alpha)}{\sin(2\pi-\alpha)\tan(\frac{\pi}{2}+\alpha)}$
[条件探究] 本例(1)中条件变为“已知sin(310π​−α)=31​”，求cos(6π​+α)的值.

答案：
(1)[解析] $\cos(\frac{\pi}{6}+\alpha)=\cos[\frac{\pi}{2}-(\frac{\pi}{3}-\alpha)]$
$=\sin(\frac{\pi}{3}-\alpha)=\frac{1}{3}$.
[答案] $\frac{1}{3}$
(2)[解] 当$k$为奇数时，
原式$=\sin(\pi-\frac{\pi}{4}-\alpha)+\cos(\pi+\frac{\pi}{4}-\alpha)$
$=\sin(\frac{\pi}{4}+\alpha)-\cos(\frac{\pi}{4}-\alpha)$
$=\sin[\frac{\pi}{2}-(\frac{\pi}{4}-\alpha)]-\cos(\frac{\pi}{4}-\alpha)$
$=\cos(\frac{\pi}{4}-\alpha)-\cos(\frac{\pi}{4}-\alpha)$
$=0$;
当$k$为偶数时，
原式$=\sin(-\frac{\pi}{4}-\alpha)+\cos(\frac{\pi}{4}-\alpha)$
$=-\sin(\frac{\pi}{4}+\alpha)+\cos(\frac{\pi}{4}-\alpha)$
$=-\sin[\frac{\pi}{2}-(\frac{\pi}{4}-\alpha)]+\cos(\frac{\pi}{4}-\alpha)$
$=-\cos(\frac{\pi}{4}-\alpha)+\cos(\frac{\pi}{4}-\alpha)$
$=0$.
综上，原式$=0$.
(3)[解] 原式$=\frac{(-\cos\alpha)\sin\alpha}{(-\sin\alpha)\frac{\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)}{\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)}}$
$=\frac{(-\cos\alpha)\sin\alpha(-\sin\alpha)}{(-\sin\alpha)\cos\alpha}=-\sin\alpha$.
[条件探究] 解：由$\sin(\frac{10\pi}{3}-\alpha)=\frac{1}{3}$，得$\sin(\frac{4\pi}{3}-\alpha)$
$=\sin[(\frac{10\pi}{3}-\alpha)-2\pi]=\sin(\frac{10\pi}{3}-\alpha)=-\frac{1}{3}$.
$\therefore\cos(\frac{\pi}{6}+\alpha)=\cos[\frac{3\pi}{2}-(\frac{4\pi}{3}-\alpha)]=-\sin(\frac{4\pi}{3}-\alpha)$
$=\frac{1}{3}$.

1. (1) 化简：$\frac{\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha)\sin(\pi + \alpha)\tan(3\pi + \alpha)}{\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)\sin( - \alpha)} =$1.
(2) 已知$\sin(\theta - \frac{3\pi}{2}) + \cos(\frac{3\pi}{2} + \theta) = \frac{3}{5}$，求$\sin^3(\frac{\pi}{2} + \theta) - \cos^3(\frac{3\pi}{2} - \theta)$的值.

答案： 1.
(1)答案:1
解析：原式$=\frac{\cos\alpha(-\sin\alpha)\tan\alpha}{\sin\alpha(-\sin\alpha)}=\frac{\cos\alpha\tan\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\cos\alpha·\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\sin\alpha}=1$.
(2)解：$\because\sin(\theta-\frac{3\pi}{2})+\cos(\frac{3\pi}{2}+\theta)$
$=-\sin(\frac{3\pi}{2}-\theta)-\cos(\frac{\pi}{2}+\theta)$
$=\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)+\sin\theta=\cos\theta+\sin\theta=\frac{3}{5}$,
$\therefore\sin\theta\cos\theta=\frac{1}{2}[(\sin\theta+\cos\theta)^2-1]$
$=\frac{1}{2}×(\frac{9}{25}-1)=-\frac{8}{25}$.
$\therefore\sin^3(\frac{\pi}{2}+\theta)-\cos^3(\frac{3\pi}{2}-\theta)$
$=\cos^3\theta+\cos^3(\frac{\pi}{2}-\theta)=\cos^3\theta+\sin^3\theta$
$=(\sin\theta+\cos\theta)(\sin^2\theta-\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta)$
$=\frac{3}{5}×[1-(-\frac{8}{25})]=\frac{99}{125}$.