《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

例 3 若不等式$9x+\frac{a^{2}}{x}\geq a + 1$(常数$a＞0$)对一切正实数$x$恒成立，求$a$的取值范围.

答案： 例3 [解] 常数$a＞0$，若$9x+\frac {a^{2}}{x}\geqslant a+1$对一切正实数$x$恒成立，则$a+1\leqslant (9x+\frac {a^{2}}{x})_{\min }$，又$9x+\frac {a^{2}}{x}\geqslant 6a$，当且仅当$9x=\frac {a^{2}}{x}$，即$x=\frac {a}{3}$时，等号成立，故必有$6a\geqslant a+1$，解得$a\geqslant \frac {1}{5}$.所以$a$的取值范围为$\{a|a\geqslant \frac {1}{5}\}$.

3.若不等式$x + 2\sqrt{2xy}\leq a(x + y)$对一切正实数$x,y$恒成立，则实数$a$的最小值为2.

答案： 3.答案:2
解析:因为$x＞0,y＞0$，则$x+2\sqrt {2xy}\leqslant a(x+y)\Leftrightarrow a\geqslant \frac {x+2\sqrt {2xy}}{x+y}$，而$\frac {x+2\sqrt {2xy}}{x+y}=\frac {x+2\sqrt {x· 2y}}{x+y}\leqslant \frac {x+2· \frac {x+2y}{2}}{x+y}$
$=\frac {2x+2y}{x+y}=2$，当且仅当$x=2y$时，等号成立，则$a\geqslant 2$，所以实数$a$的最小值为2.

1.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为 800 元. 若每批生产$x$件，则平均仓储时间为$\frac{x}{8}$天，且每件产品每天的仓储费用为 1 元. 为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 (B)

A.60 件
B.80 件
C.100 件
D.120 件

答案： 1.B [设每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为$y$元，
由题意，得$y=\frac {800}{x}+\frac {x}{8}\geqslant 2\sqrt {\frac {800}{x}· \frac {x}{8}}=20$，当且仅当$\frac {800}{x}=\frac {x}{8}(x＞0)$，即$x=80$时，等号成立.故选B.]

2.中国南宋著名数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为$a,b,c$，三角形的面积$S$可由公式$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$求得，其中$p$为三角形周长的一半. 已知$\triangle ABC$的周长为 12，$c = 4$，则当此三角形的面积最大时，$\angle A =$ (C)

A.$30^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$90^{\circ}$

答案： 2.C [由题可知$a+b=8,c=4$，可得$p=\frac {1}{2}(a+b+c)=6$，
则$S=\sqrt {6(6-a)(6-b)(6-4)}=\sqrt {12(6-a)(6-b)}\leqslant \sqrt {12× \frac {6-a+6-b}{2}}=4\sqrt {3}$，当且仅当$a=b=4$时，等号成立，所以此时三角形为等边三角形，故$\angle A=60^{\circ}$.故选C.]

3.(多选)如图所示，4 个长为$a$，宽
为$b$的长方形，拼成一个正
方形$ABCD$，中间围成一个小
正方形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$，则下列说
法中正确的是 (ABD)

A.$(a + b)^{2}\geq4ab$
B.当$a = b$时，$A_{1},B_{1},C_{1},D_{1}$四点重合
C.$(a - b)^{2}\leq4ab$
D.$(a + b)^{2}＞(a - b)^{2}$

答案： 3.ABD [由题意，知$a＞0,b＞0$，$(a+b)^2$表示正方形
ABCD的面积，$4ab$表示4个长方形的面积之和，$(a-b)^2$
表示正方形$A_1B_1C_1D_1$的面积，所以$(a+b)^2\geqslant 4ab$，$(a+b)^2＞(a-b)^2$，故A，D正确；当$a=b$时，4个长方形为4个正方形，此时$A_1,B_1,C_1,D_1$四点重合，故B正确；C显然错误.故选ABD.]

4.设$a＞0,b＞0$，且不等式$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{k}{a + b}\geq0$恒成立，则实数$k$的最小值为-4.

答案： 4.答案:-4
解析:由$a＞0,b＞0$，且$\frac {1}{a}+\frac {1}{b}+\frac {k}{a+b}\geqslant 0$，得$k\geqslant (a+b)· (-\frac {1}{a}-\frac {1}{b})=-(2+\frac {b}{a}+\frac {a}{b})$，又$-(2+\frac {b}{a}+\frac {a}{b})\leqslant -(2+2\sqrt {\frac {b}{a}· \frac {a}{b}})=-4$，当且仅当$a=b$时，等号成立，故$-(2+\frac {b}{a}+\frac {a}{b})$的最大值为-4，故$k\geqslant -4$，所以实数$k$的最小值为-4.

5.如图所示，在半径为 4 cm

的半圆形($O$为圆心)铁皮上截取一块矩形材料
$ABCD$，其顶点$A,B$在直径
上，顶点$C,D$在圆周上，则矩形$ABCD$面积的最
大值为16$cm^{2}$，此时$AB =$$4\sqrt {2}$
cm.
提示：完成《课时作业》P237

答案：
5.答案:16 $4\sqrt {2}$
解析:如图所示，连接$OC$，设$OB=x$（$0＜x＜4$），则$BC=\sqrt {OC^{2}-OB^{2}}=\sqrt {16-x^{2}},AB=2OB=2x$，由基本不等式可得，矩形$ABCD$的面积
$S=AB· BC=2x· \sqrt {16-x^{2}}=2\sqrt {(16-x^{2})x^{2}}\leqslant (16-x^{2})+x^{2}=16$，当且仅当$16-x^{2}=x^{2}$，即$x=2\sqrt {2}$时，等号成立.故矩形$ABCD$面积的最大值为$16 cm^{2}$，此时$AB=4\sqrt {2} cm$.