《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

3.(不含参数的一元二次不等式的求解)不等式$3 + 5x - 2x^{2} \leq 0$的解集为$\left\{x \mid x \leqslant-\frac{1}{2}\right.$,或$\left.x \geqslant 3\right\}$.

答案： 3.$\left\{x \mid x \leqslant-\frac{1}{2}\right.$,或$\left.x \geqslant 3\right\}$

4.(含参数的一元二次不等式的求解)关于$x$的不等式$x^{2} - (a + \frac{1}{a} + 1)x + a + \frac{1}{a} ＜ 0(a＞0)$的解集为$\left\{x \mid 1＜x＜a+\frac{1}{a}\right\}$.

答案： 4.$\left\{x \mid 1＜x＜a+\frac{1}{a}\right\}$

例1 解下列不等式：
(1)$2x^{2} - 3x - 2＞0$;
(2)$x^{2} - 4x + 4＞0$;
(3)$-2x^{2} + x - 3＜0$;
(4)$-3x^{2} + 5x - 2＞0$.

答案： 例1 [解]
(1)$\because \Delta＞0$,方程$2x^{2}-3x-2=0$的根是$x_{1}=-\frac{1}{2},x_{2}=2$,
$\therefore$不等式$2x^{2}-3x-2＞0$的解集为$\left\{x \mid x＜-\frac{1}{2}\right.$,或$\left.x＞2\right\}$.
(2)$\because \Delta=0$,方程$x^{2}-4x+4=0$的根是$x_{1}=x_{2}=2$,
$\therefore$不等式$x^{2}-4x+4＞0$的解集为$\{x \mid x \neq 2\}$.
(3)原不等式可化为$2x^{2}-x+3＞0$,
$\because \Delta＜0$,方程$2x^{2}-x+3=0$无解,
$\therefore$不等式$-2x^{2}+x-3＜0$的解集为$\mathbf{R}$.
(4)原不等式可化为$3x^{2}-5x+2＜0$,
$\because \Delta＞0$,方程$3x^{2}-5x+2=0$的两根为$x_{1}=\frac{2}{3},x_{2}=1$,
$\therefore$不等式$-3x^{2}+5x-2＞0$的解集为$\left\{x \mid \frac{2}{3}＜x＜1\right\}$.

1.求下列一元二次不等式的解集：
(1)$x^{2} - 5x＞6$;
(2)$4x^{2} - 4x + 1 \leq 0$;
(3)$-x^{2} + 7x＞6$.

答案： 1.解：
(1)由$x^{2}-5x＞6$,得$x^{2}-5x-6＞0$,
$\because x^{2}-5x-6=0$的两根是$x_{1}=-1,x_{2}=6$,
$\therefore$不等式$x^{2}-5x＞6$的解集为$\{x \mid x＜-1$,或$x＞6\}$.
(2)$4x^{2}-4x+1 \leqslant 0$,即$(2x-1)^{2} \leqslant 0$,
$\because$方程$(2x-1)^{2}=0$的根为$x=\frac{1}{2}$,
$\therefore$不等式$4x^{2}-4x+1 \leqslant 0$的解集为$\left\{x \mid x=\frac{1}{2}\right\}$.
(3)由$-x^{2}+7x＞6$,得$x^{2}-7x+6＜0$.
$\because x^{2}-7x+6=0$的两根是$x_{1}=1,x_{2}=6$,
$\therefore$不等式$-x^{2}+7x＞6$的解集为$\{x \mid 1＜x＜6\}$.

例2 解下列关于$x$的不等式$(a\in\mathbf{R})$：
(1)$2x^{2} + ax + 2＞0$;
(2)$ax^{2} - (a + 1)x + 1＜0$.

答案： 例2 [解]
(1)Δ=a2−16,下面分情况讨论：
①当Δ＜0,即−4＜a＜4时,方程2x2+ax+2=0无实根,
所以原不等式的解集为R;
②当Δ＞0,即a＞4或a＜−4时,方程2x2+ax+2=0的两个
根为x1​=41​(−a−a2−16​),x2​=41​(−a+a2−16​),
所以原不等式的解集为{x∣x＜41​(−a−a2−16​),或
x＞41​(−a+a2−16​)}.
③当Δ=0,即a=4或−4时,方程2x2+ax+2=0有两个
相等的实数根,
当a=−4时,原不等式的解集为{x∣x∈R,且x=1},
当a=4时,原不等式的解集为{x∣x∈R,且x=−1}.
(2)若a=0,原不等式为−x+1＜0,
解得x＞1;
若a＜0,原不等式可化为(x−a1​)(x−1)＞0,
解得$x ＜ \frac{1}{a}$或$x ＞ 1$；若$a＞0$，原不等式可化为$(x-\frac{1}{a})(x - 1)＜0$，（*）
其解的情况应由a1​与1的大小关系决定,故
①当a=1时,由(※)式可得x∈∅,
②当a＞1时,由(※)式可得a1​＜x＜1,
③当0＜a＜1时,由(※)式可得1＜x＜a1​
综上所述,当a＜0时,不等式的解集为{x∣x＜a1​,或
x＞1};当a=0时,不等式的解集为{x∣x＞1};当0＜a＜1
时,不等式的解集为{x∣1＜x＜a1​};当a=1时,不等式的
解集为∅;当a＞1时,不等式的解集为{x∣a1​＜x＜1}.