《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

例3 (1)已知命题$p$：$\forall x\in\mathbf{R},m+x^{2}-2x$ $+5＞0$，若$\neg p$为假命题，求实数$m$的取值范围.
(2)若命题“存在$x＞a$，使得$2x+a＜3$”是假命题，求实数$a$的取值范围.

答案： 例3
(1)[解] 因为$\neg p$为假命题，所以命题$p$：$\forall x\in\mathbf{R}$，$m + x^{2}-2x + 5＞0$为真命题，$m + x^{2}-2x + 5＞0$可化为$m＞-x^{2}+2x - 5=-(x - 1)^{2}-4$，即$m＞-(x - 1)^{2}-4$对任意$x\in\mathbf{R}$恒成立，所以$m＞-4$，故实数$m$的取值范围为$\{m\mid m＞-4\}$.
(2)[解] 因为命题“存在$x＞a$，使得$2x + a＜3$”是假命题，所以此命题的否定“对任意$x＞a$，使得$2x + a\geqslant3$”是真命题，因为对任意$x＞a$有$2x + a\geqslant3a$，所以$3a\geqslant3$，解得$a\geqslant1$.所以实数$a$的取值范围为$\{a\mid a\geqslant1\}$.

3.(1)已知命题“存在$x\leqslant a$，使得$|x|=2$”是假命题，求实数$a$的取值范围.
(2)已知命题$p$：$\forall x\in\{x\mid-3\leqslant x\leqslant2\}$，都有$x\in\{x\mid a-4\leqslant x\leqslant a+5\}$，且$\neg p$是假命题，求实数$a$的取值范围.

答案： 3.
(1)解：因为命题“存在$x\leqslant a$，使得$\mid x\mid = 2$”是假命题，所以此命题的否定“对任意$x\leqslant a$，$\mid x\mid\neq2$”是真命题，所以$a＜-2$.所以实数$a$的取值范围为$\{a\mid a＜-2\}$.
(2)解：因为$\neg p$是假命题，所以$p$是真命题，即$\forall x\in\{x\mid - 3\leqslant x\leqslant2\}$，都有$x\in\{x\mid a - 4\leqslant x\leqslant a + 5\}$，所以$\{x\mid - 3\leqslant x\leqslant2\}\subseteq\{x\mid a - 4\leqslant x\leqslant a + 5\}$，则$\begin{cases}a - 4\leqslant - 3\\a + 5\geqslant2\end{cases}$，解得$-3\leqslant a\leqslant1$，即实数$a$的取值范围是$\{a\mid - 3\leqslant a\leqslant1\}$.

1.命题“所有四边形的内角和都是$360^{\circ}$”的否定为 (D)

A.所有不是四边形的多边形内角和都不是$360^{\circ}$
B.所有四边形的内角和都不是$360^{\circ}$
C.存在一个四边形，它的内角和是$360^{\circ}$
D.存在一个四边形，它的内角和不是$360^{\circ}$

答案： 1.D [全称量词命题的否定是存在量词命题，注意要否定结论.故选D.]

2.已知命题$p$：$\exists n\in\mathbf{N},n^{2}＞2^{n}$，则命题$p$的否定为 (C)

A.$\forall n\in\mathbf{N},n^{2}＞2^{n}$
B.$\exists n\in\mathbf{N},n^{2}\leqslant2^{n}$
C.$\forall n\in\mathbf{N},n^{2}\leqslant2^{n}$
D.$\exists n\in\mathbf{N},n^{2}=2^{n}$

答案： 2.C [因为“$\exists x\in M$，$p(x)$”的否定是“$\forall x\in M$，$\neg p(x)$”，所以命题“$\exists n\in\mathbf{N}$，$n^{2}＞2^{n}$”的否定是“$\forall n\in\mathbf{N}$，$n^{2}\leqslant2^{n}$”.故选C.]

3.(多选)下列命题的否定是真命题的是 (AD)

A.$p_{1}$：每一个合数都是偶数
B.$p_{2}$：两条平行线被第三条直线所截内错角相等
C.$p_{3}$：有些实数的绝对值是正数
D.$p_{4}$：平行四边形是菱形

答案： 3.AD [若判断某命题的否定的真假，只要判断出原命题的真假即可得解，它们的真假性始终相反.因为命题$P_1$，$P_4$均为假命题，所以$\neg P_1$，$\neg P_4$均为真命题.因为命题$P_2$，$P_3$均为真命题，所以$\neg P_2$，$\neg P_3$均为假命题.故选AD.]

4.命题“对任意一个$x\in\mathbf{R}$，都有$x^{2}-2x+4\leqslant0$”的否定是存在一个$x\in\mathbf{R}$，使得$x^{2}-2x + 4＞0$.

答案： 4.答案：存在一个$x\in\mathbf{R}$，使得$x^{2}-2x + 4＞0$
解析：原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，既要改变量词又要否定结论，所以其否定为“存在一个$x\in\mathbf{R}$，使得$x^{2}-2x + 4＞0$”.

5.已知命题“$\exists x\in\mathbf{R}$，使$4x^{2}+x+\frac{1}{4}(a-2)=0$”是假命题，则实数$a$的取值范围是$\{a\mid a＞\frac{9}{4}\}$.

答案： 5.答案：$\{a\mid a＞\frac{9}{4}\}$
解析：$\because$命题“$\exists x\in\mathbf{R}$，使$4x^{2}+x+\frac{1}{4}(a - 2)=0$”是假命题，$\therefore$命题“$\forall x\in\mathbf{R}$，$4x^{2}+x+\frac{1}{4}(a - 2)\neq0$恒成立”是真命题，即判别式$\Delta=1^{2}-4×4×\frac{1}{4}(a - 2)＜0$，即$a＞\frac{9}{4}$.故实数$a$的取值范围为$\{a\mid a＞\frac{9}{4}\}$.