《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

2.(1)某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润s(单位：百万元)与新设备运行的时间t(单位：年，$ t\in \mathbf{N}^{*} $)满足$ s=\begin{cases}-2t^{2}+50t-98,t＜8, \\ -t^{3}+10t^{2}-2t,t\geqslant 8,\end{cases}$当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间$ t= $ ( )
A.6
B.7
C.8
D.9

答案： 2.
(1)B

(2)某电脑公司为了提高产值，预计生产电脑的固定成本为200万元，每生产x千台电脑，需投入成本$ R(x) $万元，$ R(x)=700x-\dfrac{10000}{x}-1250 $. 按前几年的统计数据，每年最少生产0.4万台，最多生产1万台. 已知每台电脑的售价为1.1万元，且假设全年内生产的电脑当年能全部销售完.
①求年利润y(单位：万元)关于年产量x(单位：千台)的函数解析式；
②求年利润的取值范围.

答案：
(2)解：①由题意得$y = 1100x - R(x)-200 = 400x+\frac{10000}{x}+1050(4\leq x\leq10)$.
②由①可得$y = 400x+\frac{10000}{x}+1050 = 400(x+\frac{25}{x})+1050(4\leq x\leq10)$，
函数在区间$[4,5)$上单调递减，在区间$(5,10]$上单调递增，
当$x = 4$时，$y = 5150$；当$x = 5$时，$y = 5050$；当$x = 10$时，$y = 6050$.
所以年利润的取值范围是$[5050,6050]$(单位：万元).

例3 美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮. 某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功. 该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产. 经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入y(单位：千万元)与投入的资金x(单位：千万元)的函数关系为$ y=kx^{\alpha}(x＞0) $，其图象如图所示.

(1)试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入y(单位：千万元)与投入资金x(单位：千万元)的函数关系式；
(2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片的毛收入更大？
(3)现在公司准备投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，设投入x千万元生产B芯片，用$ f(x) $表示公司所获净利润，当x为多少时，公司所获净利润最大？并求出最大净利润.(净利润=A芯片毛收入+B芯片毛收入-研发耗费资金)
[解] (1)由题意知生产$A$芯片的毛收入$y=\frac{x}{4}(x ＞ 0)$.
将$(1,1)$，$(4,2)$代入$y = kx^{\alpha}$，
得$\begin{cases}k = 1,\\k·4^{\alpha}=2,\end{cases}$ $\therefore\begin{cases}k = 1,\\\alpha=\frac{1}{2}.\end{cases}$
$\therefore$生产$B$芯片的毛收入$y=\sqrt{x}(x ＞ 0)$.
(2)由$\frac{x}{4}＞\sqrt{x}$，得$x＞16$；由$\frac{x}{4}=\sqrt{x}$，得$x = 16$；
由$\frac{x}{4}＜\sqrt{x}$，得$0＜x＜16$.
$\therefore$当投入资金大于$16$千万元时，生产$A$芯片的毛收入更大；当投入资金等于$16$千万元时，生产$A$，$B$芯片的毛收入相等；当投入资金小于$16$千万元时，生产$B$芯片的毛收入更大.
(3)由题知投入$x$千万元生产$B$芯片，则投入$(40 - x)$千万元生产$A$芯片.
公司所获净利润$f(x)=\frac{40 - x}{4}+\sqrt{x}-2=-\frac{1}{4}(\sqrt{x}-2)^{2}+9$，故当$\sqrt{x}=2$，即$x = 4$时，公司所获净利润最大，最大净利润为$9$千万元.

答案： 例3 [解]
(1)由题意知生产$A$芯片的毛收入$y=\frac{x}{4}(x ＞ 0)$.
将$(1,1)$，$(4,2)$代入$y = kx^{\alpha}$，
得$\begin{cases}k = 1,\\k·4^{\alpha}=2,\end{cases}$ $\therefore\begin{cases}k = 1,\\\alpha=\frac{1}{2}.\end{cases}$
$\therefore$生产$B$芯片的毛收入$y=\sqrt{x}(x ＞ 0)$.
(2)由$\frac{x}{4}＞\sqrt{x}$，得$x＞16$；由$\frac{x}{4}=\sqrt{x}$，得$x = 16$；
由$\frac{x}{4}＜\sqrt{x}$，得$0＜x＜16$.
$\therefore$当投入资金大于$16$千万元时，生产$A$芯片的毛收入更大；当投入资金等于$16$千万元时，生产$A$，$B$芯片的毛收入相等；当投入资金小于$16$千万元时，生产$B$芯片的毛收入更大.
(3)由题知投入$x$千万元生产$B$芯片，则投入$(40 - x)$千万元生产$A$芯片.
公司所获净利润$f(x)=\frac{40 - x}{4}+\sqrt{x}-2=-\frac{1}{4}(\sqrt{x}-2)^{2}+9$，故当$\sqrt{x}=2$，即$x = 4$时，公司所获净利润最大，最大净利润为$9$千万元.