《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

2.(1)已知$a$为给定的实数，那么集合$M = \{x\mid x^2 - 3x - a^2 + 2 = 0\}$的子集的个数为4.
(2)已知集合$A = \{x\in R\mid x^2 - 3x + 2 = 0\}$，$B = \{x\in N\mid 0 ＜ x ＜ 6\}$，集合$M$满足$A\subsetneqq M\subseteq B$，试写出所有满足条件的集合$M$.

答案： 2.
(1)答案:4
解析:方程$x^{2}-3x-a^{2}+2=0$的根的判别式$\Delta =1 + 4a^{2}＞0$,所以方程有两个不相等的实数根,所以集合 M 有 2 个元素,所以集合$M$有$2^{2}=4$个子集.
(2)解:由题意可得,$A=\{ x\in R|x^{2}-3x + 2=0\}=\{ 1,2\}$,$B=\{ x\in N|0＜x＜6\}=\{ 1,2,3,4,5\}$. 因为$A\subsetneqq M\subseteq B$,所以可以确定集合 M 必含有元素 1,2,且至少含有元素 3,4,5 中的一个,因此依据集合 M 的元素个数分类如下:
含有 3 个元素:$\{ 1,2,3\},\{ 1,2,4\},\{ 1,2,5\}$;
含有 4 个元素:$\{ 1,2,3,4\},\{ 1,2,3,5\},\{ 1,2,4,5\}$;
含有 5 个元素:$\{ 1,2,3,4,5\}$.
故满足条件的集合 M 有:$\{ 1,2,3\},\{ 1,2,4\},\{ 1,2,5\},\{ 1,2,3,4\},\{ 1,2,3,5\},\{ 1,2,4,5\},\{ 1,2,3,4,5\}$.

例3 (1)已知集合$A = \{9,3m\}$，$B = \{m^2,9\}$，且$A\subseteq B$，则实数$m =$ (A)
A. 0
B. 3
C. $\pm3$
D. 3或0
(2)(新课标Ⅱ卷)设集合$A = \{0,-a\}$，$B = \{1,a - 2,2a - 2\}$，若$A\subseteq B$，则$a =$ (B)
A. 2
B. 1
C.$\frac{2}{3}$
D. -1
(3)已知集合$A = \{x\mid -2\leqslant x\leqslant5\}$，$B = \{x\mid m + 1\leqslant x\leqslant2m - 1\}$，若$B\subsetneqq A$，求实数$m$的取值范围.$\{ m|m＜3\}$
[条件探究1] 若本例(3)条件“$A = \{x\mid -2\leqslant x\leqslant5\}$”改为“$A = \{x\mid -2 ＜ x ＜ 5\}$”，其他条件不变，求实数$m$的取值范围.
[条件探究2] 若本例(3)条件“$B\subsetneqq A$”改为“$A\subsetneqq B$”，其他条件不变，求实数$m$的取值范围.

答案：
例 3
(1)[解析] 因为$A\subseteq B$,且 A,B 的元素个数相等,所以$A = B$,所以$3m=m^{2}$,解得$m = 3$或$m = 0$. 当$m = 3$时,$3m = 9$,不满足集合中元素的互异性,舍去;当$m = 0$时,$A = B = \{ 0,9\}$,满足条件. 综上,$m = 0$. 故选 A.
[答案] A
(2)[解析] 因为$A\subseteq B$,若$a - 2 = 0$,解得$a = 2$,此时$A = \{ 0,-2\},B = \{ 1,0,2\}$,不符合题意;若$2a - 2 = 0$,解得$a = 1$,此时$A = \{ 0,-1\},B = \{ 1,-1,0\}$,符合题意. 综上所述,$a = 1$. 故选 B.
[答案] B
(3)[解] ①当$B = \emptyset $时,由$m + 1＞2m - 1$,得$m＜2$;
②当$B\neq \emptyset $时,如图所示:

$\begin{cases}m + 1\geqslant - 2,\\2m - 1＜5,\end{cases}$或$\begin{cases}m + 1＞-2,\\2m - 1\leqslant m + 1,\end{cases}$
解这两个不等式组,得$2\leqslant m＜3$.
综上,实数 m 的取值范围是$\{ m|m＜3\}$.
[条件探究 1] 解:①当$B = \emptyset $时,由$m + 1＞2m - 1$,得$m＜2$;
②当$B\neq \emptyset $时,如图所示,

$\begin{cases}m + 1＞ - 2,\\2m - 1＜5,\\m + 1＜2m - 1\end{cases}$ 解得$2\leqslant m＜3$.
综上,实数 m 的取值范围是$\{ m|m＜3\}$.
[条件探究 2] 解:当$A\subseteq B$时,如图所示,此时$B\neq \emptyset $.

$\begin{cases}2m - 1＞m + 1,\\m＞2,\end{cases}$
$\begin{cases}m + 1\leqslant - 2,\\2m - 1\geqslant 5,\end{cases}$即$\begin{cases}m\leqslant - 3,\\m\geqslant 3,\end{cases}$即不存在实数 m 使$A\subseteq B$.