《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

2.已知奇函数$y = f(x)$的定义域为$[ - 5,5]$，且在区间$[0,5]$上的图象如图所示，则使函数值$y＜0$的$x$的取值集合为(−2,0)∪(2,5).

答案：
2.答案：(−2,0)∪(2,5)
解析：因为函数y=f(x)是奇函数，所以y=f(x)在[−5,5]上的图象关于原点对称.由y=f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[−5,0]上的图象，从而得到y=f(x)在[−5,5]上的图象，如图所示.

由图象知，使函数值y＜0的x的取值集合为(−2,0)∪(2,5).

例 3 (1)若函数$f(x)=ax^{2} + bx + 3a + b$是偶函数，定义域为$[a - 1,2a]$，则$a =$$\frac{1}{3}$，$b =$0.
(2)已知$f(x)=x^{5} + ax^{3} + bx - 8$，且$f( - 2) = 10$，则$f(2) =$−26.

答案： 例3
(1)[解析] 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a−1=−2a，解得$a=\frac{1}{3}，$所以$f(x)=\frac{1}{3}x²+bx+1+b.$根据偶函数的定义知f(−x)=f(x)，即$\frac{1}{3}(−x)²+b(−x)+1+b=\frac{1}{3}x²+bx+1+b，$所以2bx=0.由x的任意性知b=0.
[答案$] \frac{1}{3} 0$
(2)[解析] 解法一：令g(x)=x⁵+ax³+bx，易知g(x)是R上的奇函数，从而g(−2)=−g
(2)，又f(x)=g(x)−8，
∴f(−2)=g(−2)−8=10，
∴g(−2)=18，
∴g
(2)=−g(−2)=−18，
∴f
(2)=g
(2)−8=−18−8=−26.
解法二：由已知条件，得$\begin{cases}f(−2)=(−2)^{5}+(−2)^{3}a+(−2)b−8 &①\\f(2)=2^{5}+2^{3}a+2b−8 &②\end{cases}，$①+②，得f
(2)+f(−2)=−16.又f(−2)=10，
∴f
(2)=−26.
[答案] −26

3.(1)已知函数$f(x)=\frac{(x + 1)(x + a)}{x}$为奇函数，则$a =$−1.
(2)已知$f(x),g(x)$分别是定义在$\mathbf{R}$上的偶函数和奇函数，且$f(x) - g(x) = x^{3} + x + 1$，则$f(1) + g(1)$的值为−1.

答案： 3.
(1)答案：−1
解析：解法一：因为$f(x)=\frac{(x + 1)(x + a)}{x}，$f(x)为奇函数，
所以f(−x)+f(x)=0，即$\frac{−x + 1}{−x}(−x + a)+\frac{(x + 1)(x + a)}{x}=0，$所以x²+(a+1)x+a−[x²−(a+1)x+a]=0，所以2(a+1)x=0，所以a+1=0，即a=−1.
解法二：由题意知f(−1)=0.又f(x)为奇函数，所以f(−1)=−f
(1)=0，所以f
(1)=0，即$\frac{(1 + 1)(1 + a)}{1}=0，$
所以a=−1.经检验，符合题意.
(2)答案：−1
解析：由题意知f(−x)−g(−x)=(−x)³+(−x)+1，即f(x)+g(x)=−x³−x+1，所以f
(1)+g
(1)=−1−1+1=−1.

1.函数$f(x)=x^{3}$的图象 (D)

A.关于$x$轴对称
B.关于$y$轴对称
C.关于直线$y = x$对称
D.关于原点对称

答案： 1.D [f(−x)=(−x)³=−x³=−f(x)，则函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称.]

2.已知函数$f(x)$为定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，且当$x＞0$时，$f(x)=x^{2} + 2x - 3$，则$f( - 2) =$ (B)

A.5
B.$-5$
C.0
D.2

答案： 2.B [因为当x＞0时，f(x)=x²+2x−3，所以f
(2)=2²+2×2−3=5，又f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(−2)=−f
(2)=−5.故选B.]

3.已知函数$f(x)=x^{2} + (2 - m)x + m^{2} + 12$为偶函数，则$m$的值是 (C)

A.4
B.3
C.2
D.1

答案： 3.C [因为函数f(x)=x²+(2−m)x+m²+12为偶函数，
所以f(x)=f(−x)，即x²+(2−m)x+m²+12=(−x)²−(2−m)x+m²+12，即4−2m=0，所以m=2.]

4.(多选)下列函数中是偶函数的是 (AC)

A.$f(x)=|x|$
B.$f(x)=x^{2} - 2x - 3$
C.$f(x)=2x^{2} - |x| - 1$
D.$f(x)=\begin{cases}x - 1,x ＜ 0, \\x + 1,x ＞ 0 \end{cases}$

答案：
4.AC [对于A，f(x)=|x|，定义域为R，且满足f(x)=f(−x)，是偶函数；对于B，f(x)=x²−2x−3，不满足f(x)=f(−x)，不是偶函数；对于C，f(x)=2x²−|x|−1，定义域为R，且满足f(x)=f(−x)，是偶函数；对于D，$f(x)=\begin{cases}x - 1, x $＜ 0 \\x + 1, x ＞$ 0\end{cases}$作出其图象如下，可知不是偶函数.故选AC.]

5.已知函数$f(x)=(a + 1)x^{3} - (a + 2)x - bx^{2}$是定义在$[a - 3,a + 1]$上的奇函数，则$f(a + b) =$−1.
提示：完成《课时作业》P256

答案： 5.答案：−1
解析：由函数f(x)=(a+1)x³−(a+2)x−bx²是定义在[a−3,a+1]上的奇函数，得(a−3)+(a+1)=0，解得a=1，
则f(x)=2x³−3x−bx²，若其为奇函数，必有b=0，则f(x)=2x³−3x，又a=1，b=0，则f(a+b)=f
(1)=−1.