《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

知识点四 有理数指数幂的运算性质

[拓展] (1)$\frac{a^r}{a^s} = a^{r - s}(a ＞ 0,r,s\in Q)$.
(2)$(\frac{a}{b})^r = \frac{a^r}{b^r}(a ＞ 0,b ＞ 0,r\in Q)$.

答案： 知识点四 ⓐ$a^{x + y}$ ⓑ$a^{n}$ ⓒ$a^{n}b^{n}$

1.(根式的概念)若 $a$ 为实数，则下列式子可能没有意义的是 (D)

A.$\sqrt[3]{a}$
B.$\sqrt[3]{- a}$
C.$\sqrt[4]{a^2}$
D.$\sqrt[6]{a^3}$

答案： 1.D

2.(根式的化简求值)当 $a ＜ 0$ 时，$a + \sqrt[3]{a^{\frac{3}{3}}} + \sqrt[4]{a^4} =$ (C)

A.-2
B.-1
C.1
D.2

答案： 2.C

3.(根式与分数指数幂的互化)(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是 (BC)

A.$-\sqrt{x} = (-x)^{\frac{1}{2}}$
B.$\sqrt[6]{y^2} = y^{\frac{1}{3}}(y ＞ 0)$
C.$x^{- \frac{3}{4}} = \sqrt[4]{(\frac{1}{x})^3}(x ＞ 0)$
D.$[\sqrt[3]{(-x)^2}]^{\frac{3}{4}} = x^{\frac{1}{2}}(x ＜ 0)$

答案： 3.BC

4.(有理数指数幂的运算)计算：$(1\frac{1}{2})^0$$\frac{7}{3}$$- (1 - 0.5^{-2}) ÷ (\frac{27}{8})^{\frac{2}{3}}$

答案： 4.$\frac{7}{3}$

例 1 (1)64 的立方根是$4$.
(2)已知 $x^6 = 2026$，则 $x =$$\pm\sqrt[6]{2026}$.
(3)若 $\sqrt[4]{x + 3}$ 有意义，则实数 $x$ 的取值范围为$[-3,+\infty)$.

答案：
(1)[解析] $64$的立方根是$4$.
[答案] $4$
(2)[解析] 因为$x^{6}=2026$,所以$x = \pm\sqrt[6]{2026}$.
[答案] $\pm\sqrt[6]{2026}$
(3)[解析] 要使$\sqrt[4]{x + 3}$有意义,则需要$x + 3\geqslant0$,即$x\geqslant -3$,所以实数$x$的取值范围是$[-3,+\infty)$.
[答案] $[-3,+\infty)$

1. (1)已知 $a\in R,n\in N^*$，给出下列四个式子：
①$\sqrt[n]{(-3)^{2n}}$；②$\sqrt[5]{a^2}$；③$\sqrt[5]{(-5)^{2n + 1}}$；④$\sqrt[9]{-a^2}$.
其中无意义的有 (A)
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.0 个

答案：
(1)A [对于①,$(-3)^{2n}＞0$,所以$\sqrt[2n]{(-3)^{2n}}$有意义;对于
②,根指数为$5$,所以$\sqrt[5]{a^{2}}$有意义;对于③,$(-5)^{2n + 1}＜0$,所
以$\sqrt[2n + 1]{(-5)^{2n+1}}$无意义;对于④,根指数为$9$,所以$\sqrt[9]{-a^{2}}$有
意义.故选A.]

(2)①16 的平方根是$\pm4$，-27 的 5 次方根是$-\sqrt[3]{27}$；
②已知 $x^3 = 6$，则 $x =$$\sqrt[3]{6}$；
(3)若 $\sqrt[4]{x - 2}$ 有意义，求实数 $x$ 的取值范围.
角度 2 根式的化简与求值

答案：
(2)答案:①$\pm4$ $-\sqrt[3]{27}$ ②$\sqrt[3]{6}$
解析:①因为$(\pm4)^{2}=16$,所以$16$的平方根为$\pm4$.$-27$的
$5$次方根为$\sqrt[5]{-27}=-\sqrt[3]{27}$.
②因为$x^{3}=6$,所以$x=\sqrt[3]{6}$.
(3)解:要使$\sqrt[5]{x - 2}$有意义,则需$x - 2\geqslant0$,即$x\geqslant2$,
所以实数$x$的取值范围是$[2,+\infty)$.

例 2 化简下列各式：
(1)$\sqrt[5]{(-3)^5} + (\sqrt[5]{-2})^5$；
(2)$\sqrt[4]{(-3)^4} + (\sqrt[6]{2})^6$；
(3)$\sqrt[4]{(a - 3)^4}$.

答案： 例2 [解]
(1)原式$=(-3)+(-2)= -5$.
(2)原式$=\mid -3\mid+2 = 3 + 2 = 5$.
(3)原式$=\mid a - 3\mid=\begin{cases}a - 3,a\geqslant3,\\3 - a,a＜3.\end{cases}$