《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

例 5 求证：$\frac{1 + 2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^{2}\alpha - \cos^{2}\alpha}=\frac{\tan\alpha + 1}{\tan\alpha - 1}$.

答案： 例 5 [证明] 证法一:
左边$=\frac {sin^{2}α+cos^{2}α+2sinαcosα}{sin^{2}α-cos^{2}α}=\frac {(sinα+cosα)^{2}}{sin^{2}α-cos^{2}α}$
$=\frac {sinα+cosα}{sinα-cosα}=\frac {tanα+1}{tanα-1}=$右边，
所以等式成立.
证法二：右边$=\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+1}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}-1}=\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=\frac{(\sin\alpha+\cos\alpha)^{2}}{(\sin\alpha-\cos\alpha)(\sin\alpha+\cos\alpha)}$
$=\frac{1 + 2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^{2}\alpha-\cos^{2}\alpha}=$左边，
所以等式成立。

5.(1)求证：$1+\tan^{2}{\alpha}=\frac{1}{\cos^{2}{\alpha}}$.
(2)已知$\tan^{2}{\alpha}=2\tan^{2}{\beta}+1$，求证：$\sin^{2}{\beta}=2\sin^{2}{\alpha}-1$.

答案： 5.
(1)证明：$1+\tan^{2}\alpha =1+\frac{\sin^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha}=\frac{\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha}=\frac{1}{\cos^{2}\alpha}$。
(2)证明：因为$\tan^{2}\alpha = 2\tan^{2}\beta + 1$，所以$\tan^{2}\alpha + 1 = 2\tan^{2}\beta + 2$。
所以$\frac{\sin^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha}+1 = 2(\frac{\sin^{2}\beta}{\cos^{2}\beta}+1)$，
通分可得$\frac{1}{\cos^{2}\alpha}=\frac{2}{\cos^{2}\beta}$，即$\cos^{2}\beta = 2\cos^{2}\alpha$，
所以$1 - \sin^{2}\beta = 2(1 - \sin^{2}\alpha)$，即$\sin^{2}\beta = 2\sin^{2}\alpha - 1$。

1.已知$\alpha$是第二象限角，$\cos{\alpha}=-\frac{12}{13}$，则$\sin{\alpha}=$

A.$\frac{5}{13}$
B.$-\frac{5}{13}$
C.$\frac{5}{12}$
D.$-\frac{5}{12}$

答案： 1.A

2.已知$\sin{\alpha}=\frac{\sqrt{5}}{5},\frac{\pi}{2}＜\alpha＜\pi$，则$\tan{\alpha}=$

A.$-2$
B.$2$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$

答案： 2.D 

3.(全国乙卷)若$\theta\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$，$\tan{\theta}=\frac{1}{2}$，则$\sin{\theta}-\cos{\theta}=$

答案： 3.答案:$-\frac{\sqrt{5}}{5}$
解析：因为$\theta\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$,则$\sin\theta＞0$,$\cos\theta＞0$,又因为$\tan\theta=$
$\frac{\sin\theta}{\cos\theta}}=\frac{1}{2}$,则$\cos\theta=2\sin\theta$,且$\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=4\sin^{2}\theta+\sin^{2}\theta=$
$5\sin^{2}\theta=1$,解得$\sin\theta=\frac{\sqrt{5}}{5}$或$\sin\theta=\frac{\sqrt{5}}{5}$(舍去),所以$\sin\theta -$
$\cos\theta=\sin\theta-2\sin\theta=-\sin\theta=-\frac{\sqrt{5}}{5}$.

4.已知$\tan{x}=2$，则$\frac{2\sin{x}\cos{x}}{\cos^{2}{x}+3\sin^{2}{x}+1}$的值为$\frac{2}{9}$.

答案： 4.答案:$\frac{2}{9}$

5.化简：$\frac{\sin^{4}{\theta}\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}\cos^{4}{\theta}}{1-\sin^{4}{\theta}-\cos^{4}{\theta}}=$$\frac{1}{2}$

答案： 5.答案:$\frac{1}{2}$