《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

3. 国家原计划以$2400$元/吨的价格收购某种农产品$m$吨. 按规定，农户向国家纳税为：每收入$100$元纳税$8$元(称作税率为$8$个百分点，即$8\%$). 为了减轻农民负担，制定积极的收购政策，根据市场规律，税率降低$x$个百分点，收购量能增加$2x$个百分点. 试确定$x$的取值范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的$78\%$.

答案： 3.解：设税率调低后税收总收入为$y$元,
则$y=2400m(1+2x\%)(8-x)\%=-\frac{12}{25}m(x^2+42x-400)(0＜x\leq8)$.
依题意,得$y\geq2400m×8\%×78\%$,
即$-\frac{12}{25}m(x^2+42x-400)\geq2400m×8\%×78\%$,
整理,得$x^2+42x-88\leq0$,解得$-44\leq x\leq2$.
又$0＜x\leq8$,
所以$x$的取值范围为$\{x\mid0＜x\leq2\}$.

1. 不等式$\frac{x - 2}{x + 1}\leq0$的解集是 (D)

A.$\{x|x＜-1$，或$-1＜x\leq2\}$
B.$\{x|-1\leq x\leq2\}$
C.$\{x|x＜-1$，或$x\geq2\}$
D.$\{x|-1＜x\leq2\}$

答案： 1.D [此不等式等价于$\begin{cases}(x-2)(x+1)\leq0,\\x+1\neq0,\end{cases}\therefore-1＜x\leq2$.]

2. 若不等式$ax^{2}+(a - 1)x + a＞0$对任意$x\in\mathbf{R}$恒成立，则实数$a$的取值范围是 (C)

A.$\{a|a＜-1$，或$a＞\frac{1}{3}\}$
B.$\{a|a＞1\}$
C.$\{a|a＞\frac{1}{3}\}$
D.$\{a|-1＜a＜\frac{1}{3}\}$

答案： 2.C [当$a=0$时,$0+(0-1)× x+0＞0$,$\therefore x＜0$,不符合题意,舍去;当$a\neq0$时,由题意,得$a＞0$,且$\Delta=(a-1)^2-4a^2＜0$,
解得$a＞\frac{1}{3}$.综上,实数$a$的取值范围是$\{a\mid a＞\frac{1}{3}\}$.]

3. 某辆汽车以$x km/h$的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全，要求$60\leq x\leq120$)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为$\frac{1}{5}(x - k+\frac{4500}{x}) L$，其中$k$为常数. 若汽车以$120 km/h$的速度行驶，每小时的油耗为$11.5 L$，欲使每小时的油耗不超过$9 L$，则速度$x$的取值范围为 (C)

A.$\{x|45\leq x\leq100\}$
B.$\{x|75\leq x\leq120\}$
C.$\{x|60\leq x\leq100\}$
D.$\{x|80\leq x\leq120\}$

答案： 3.C [因为汽车以$120km/h$的速度行驶时,每小时的油耗为$11.5L$,所以$\frac{1}{5}(120-k+\frac{4500}{120})=11.5$,解得$k=100$,
故每小时的油耗为$\frac{1}{5}(x+\frac{4500}{x})-20$.依题意,得$\frac{1}{5}(x+\frac{4500}{x})-20\leq9$,解得$x＜0$或$45\leq x\leq100$.又$60\leq x\leq120$,
所以$60\leq x\leq100$.]

4. 若$\exists x\in\mathbf{R}$，使$x^{2}+2mx + 3\leq0$成立，则实数$m$的取值范围为$\{m\mid m\leq-\sqrt{3}$,或$m\geq\sqrt{3}\}$.

答案： 4.答案：$\{m\mid m\leq-\sqrt{3}$,或$m\geq\sqrt{3}\}$
解析：因为$\exists x\in R$,使$x^2+2mx+3\leq0$成立,所以$\Delta=4m^2-4×3\geq0$,解得$m\leq-\sqrt{3}$或$m\geq\sqrt{3}$,所以实数$m$的取值范围为$\{m\mid m\leq-\sqrt{3}$,或$m\geq\sqrt{3}\}$.

5. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于$300 m^{2}$的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长$x$(单位：m)的取值范围为$\{x\mid10\leq x\leq30\}$.

答案： 5.答案：$\{x\mid10\leq x\leq30\}$
解析：设矩形的另一边长为$y$,由相似三角形的性质,得$\frac{x}{40}=\frac{40-y}{40}$,整理,得$y+x=40$.又$x＞0,y＞0,x＜40,y＜40$,
$xy\geq300$,将$y=40-x$代入$xy\geq300$,整理,得$x^2-40x+300\leq0$,解得$10\leq x\leq30$,即边长$x$的取值范围为$\{x\mid10\leq x\leq30\}$.