《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

2. 某科研单位与企业合作，为该企业研发并安装了新的清除企业产品中某杂质的设备.在清除过程中，产品中某杂质含量M(单位：mg/L)与时间t(单位：h)之间的关系满足$\ln M=-kt+\ln M_{0}$($M_{0}$为杂质含量的初始值，k为常数).已知经过1 h，新设备可清除掉产品中40%的某杂质，则经过3 h，产品中某杂质的含量与下列四个值中最接近的是 (D)

A.$32\% M_{0}$
B.$28\% M_{0}$
C.$25\% M_{0}$
D.$21\% M_{0}$

答案： 2.D [因为经过1h，新设备可清除掉产品中40%的某杂质，所以ln(0.6M0)=-k+lnM0，即得-k=ln0.6，设经过3h，产品中某杂质的含量为M，则$lnM=-3k+lnM0=ln0.6^3+lnM0=ln(0.216M0)，$即M=0.216M0=21.6%M0。故选D。]

例3 18世纪70年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均距离(天文单位)如下表：
他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现了谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请你推测谷神星的位置，并计算在土星外面的行星与太阳的距离大约是多少？
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………

答案：
例3 [解] 由数值对应表作散点图如图。

由图知采用指数型函数作模型，
设f(x)=ab^x+c。
代入(1,0.7),(2,1.0),(3,1.6)，
得
{
ab+c=0.7, ①
$ab^2+c=1.0, ②$
$ab^3+c=1.6, ③$
(③-②)÷(②-①)得b=2，代入①②，
得
{
2a+c=0.7,
4a+c=1.0,
解得
{
a=3/20,
c=2/5,
∴f(x)=3/20·2^x+2/5。
∵f
(5)=26/5=5.2，f
(6)=10，符合对应表值，
∴f
(4)=2.8，f
(7)=19.6，
∴谷神星大约在离太阳2.8天文单位处，在土星外面的行星与太阳的距离大约是19.6天文单位。