《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

1.判断下列命题的真假，并说明理由：
(1)若$\frac{a}{c} ＞ \frac{b}{d}$，则$ad ＞ bc$；
(2)若$a ＜ b ＜ 0$，则$\frac{1}{a - b} ＞ \frac{1}{a}$；
(3)设$a$，$b$为正实数，若$a - \frac{1}{a} ＜ b - \frac{1}{b}$，则$a ＜ b$.

答案： 1.解：
(1)因为$\frac{a}{c}-\frac{b}{d}，$所以$\frac{a}{c}-\frac{b}{d}＞0，$即$\frac{ad - bc}{cd}＞0，$
所以$\begin{cases}ad - bc＞0,\\cd＞0.\end{cases}$或$\begin{cases}ad - bc$＜0,\\cd＜0.\end{cases}即ad＞bc且cd＞0，或ad＜bc且cd＜0，故
(1)为假命题.
(2)由a＜b＜0，得a＜a - b＜0，
所以$\frac{1}{a - b}＜\frac{1}{a}，$故
(2)为真命题.
(3)因为$a-\frac{1}{a}$＜b-\frac{1}{b}，且a＞0，b＞0，所以$a^{2}b - b＜ab^{2}$
$-a\Rightarrowa^{2}b - ab^{2}-b + a＜0\Rightarrowab(a - b)+(a - b)＜0\Rightarrow$
(a - b)(ab + 1)＜0，所以a - b＜0，即a＜b，故
(3)为真命题.

例2 若$a ＞ b ＞ 0$，$c ＜ d ＜ 0$，$e ＜ 0$，求证：$\frac{e}{(a - c)^2} ＞ \frac{e}{(b - d)^2}$.
［结论探究］本例条件不变的情况下，求证：$\frac{e}{ac} ＜ \frac{e}{bd}$.

答案： 例 2 [证明]

∵ $c ＜ d ＜ 0$，
∴ $-c ＞ -d ＞ 0$。
又 $a ＞ b ＞ 0$，
∴ $a - c ＞ b - d ＞ 0$，

∴ $(a - c)^2 ＞ (b - d)^2 ＞ 0$，
两边同乘以 $\frac{1}{(a - c)^2(b - d)^2}$，得 $\frac{1}{(a - c)^2} ＜ \frac{1}{(b - d)^2}$。
又 $e ＜ 0$，
∴ $\frac{e}{(a - c)^2} ＞ \frac{e}{(b - d)^2}$。
[结论探究] 证明：

∵ $c ＜ d ＜ 0$，
∴ $-c ＞ -d ＞ 0$。

∵ $a ＞ b ＞ 0$，
∴ $-ac ＞ -bd ＞ 0$，

∴ $0 ＜ -\frac{1}{ac} ＜ -\frac{1}{bd}$，
又 $e ＜ 0$，
∴ $-\frac{e}{ac} ＞ -\frac{e}{bd}$，
∴ $\frac{e}{ac} ＜ \frac{e}{bd}$。

2.设$a ＞ b ＞ c$，求证：$\frac{1}{a - b} + \frac{1}{b - c} + \frac{1}{c - a} ＞ 0$.

答案： 2.证明：$\because a＞b＞c，$$\therefore -c＞-b，$
$\therefore a - c＞a - b＞0，$$\therefore\frac{1}{a - b}＞\frac{1}{a - c}＞0，$
$\therefore\frac{1}{a - b}+\frac{1}{c - a}＞0，$
又b - c＞0，$\therefore\frac{1}{b - c}＞0，$
$\therefore\frac{1}{a - b}+\frac{1}{b - c}+\frac{1}{c - a}＞0.$

例3 已知$1 ＜ a ＜ 4$，$2 ＜ b ＜ 8$，试求$2a + 3b$与$a - b$的取值范围.
［条件探究］若本例的条件变为$-3 ＜ a + 2b ＜ 2$，$-4 ＜ 2a - b ＜ -3$，试求$2a + 3b$的取值范围.
［结论探究］若本例条件不变，求$\frac{a}{b}$的取值范围.

答案： 例3 [解$] \because1＜a＜4，$2＜b＜8，$\therefore2＜2a＜8，$6＜3b＜24.
$\therefore8＜2a + 3b＜32.$
$\because2＜b＜8，$$\therefore - 8＜-b＜-2.$
又1＜a＜4，$\therefore1+(-8)＜a+(-b)＜4+(-2)，$
即 - 7＜a - b＜2.
故2a + 3b的取值范围是8＜2a + 3b＜32，a - b的取值范围是 - 7＜a - b＜2.
[条件探究] 解：设2a + 3b=m(a + 2b)+n(2a - b)，
$\therefore\begin{cases}m + 2n=2,\\2m - n=3.\end{cases}$解得$\begin{cases}m=\frac{8}{5},\\n=\frac{1}{5}.\end{cases}$
即$2a + 3b=\frac{8}{5}(a + 2b)+\frac{1}{5}(2a - b)，$
$\because - 3＜a + 2b＜2，$$\therefore-\frac{24}{5}＜\frac{8}{5}(a + 2b)＜\frac{16}{5}$
$\because - 4＜2a - b＜-3，$$\therefore-\frac{4}{5}＜\frac{1}{5}(2a - b)＜-\frac{3}{5}$
$\therefore-\frac{28}{5}＜\frac{8}{5}(a + 2b)+\frac{1}{5}(2a - b)＜\frac{13}{5}，$
即$-\frac{28}{5}＜2a + 3b＜\frac{13}{5}.$
[结论探究] 解：$\because2＜b＜8，$$\therefore\frac{1}{8}＜\frac{1}{b}＜\frac{1}{2}$
又1＜a＜4，$\therefore1×\frac{1}{8}＜a·\frac{1}{b}＜4×\frac{1}{2}，$
即$\frac{1}{8}＜\frac{a}{b}＜2.$故$\frac{a}{b}$的取值范围是$\frac{1}{8}＜\frac{a}{b}＜2.$