《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

3.已知$0＜\alpha＜\pi$，$\sin{\alpha}-\cos{\alpha}=\frac{1}{2}$，求$\tan{\alpha}$的值.

答案： 3.解:解法一:由题意,有$\begin{cases}\sin\alpha-\cos\alpha=\frac{1}{2} ①,\\\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1 ②,\end{cases}$
解得$\cos\alpha=\frac{\pm\sqrt{7}-1}{4}$,
故$\begin{cases}\cos\alpha=\frac{\sqrt{7}-1}{4}\\\sin\alpha=\frac{\sqrt{7}+1}{4}\end{cases}$或$\begin{cases}\cos\alpha=-\frac{\sqrt{7}-1}{4}\\\sin\alpha=\frac{1-\sqrt{7}}{4}\end{cases}$
因为$0＜\alpha＜\pi$,所以$\sin\alpha＞0$,
所以第二组解舍去,于是$\tan\alpha=\frac{4 + \sqrt{7}}{3}$
解法二:将$\sin\alpha-\cos\alpha=\frac{1}{2}$两边平方,
得$1-2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{4}$,$2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{3}{4}$,
则$1 + 2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{7}{4}=(\sin\alpha+\cos\alpha)^{2}$,
由$2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{3}{4}＞0$,
可知$0＜\alpha＜\frac{\pi}{2}$,则$\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{\sqrt{7}}{2}$,
由$\begin{cases}\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{\sqrt{7}}{2}\\\sin\alpha-\cos\alpha=\frac{1}{2}\end{cases}$解得$\begin{cases}\cos\alpha=\frac{\sqrt{7}-1}{4}\\\sin\alpha=\frac{1+\sqrt{7}}{4}\end{cases}$
所以$\tan\alpha=\frac{4 + \sqrt{7}}{3}$

例 4 化简$\frac{\sin{\alpha}}{1 - \cos{\alpha}}·\sqrt{\frac{\tan\alpha - \sin\alpha}{\tan\alpha + \sin\alpha}}$(其中$\alpha$是第三象限角).

答案： 例 4 [解] 原式$=\frac {sina}{1 - cosa}· \sqrt {\frac {\frac {sina}{cosa}-\frac {sina}{sina}}{\frac {sina}{cosa}+\frac {sina}{sina}}}=\frac {sina}{1 - cosa}·$
$\sqrt {\frac {1 - cosa}{1 + cosa}}=\frac {sina}{1 - cosa}· \sqrt {\frac {(1 - cosa)^{2}}{1 - cos^{2}a}}=\frac {sina}{1 - cosa}· \frac {1 - cosa}{|sina|}.$
因为α是第三象限角,所以$sina＜0.$
所以原式$=\frac {sina}{1 - cosa}· \frac {1 - 

4.(1)化简$\sin^{2}{\alpha}+\sin^{2}{\beta}-\sin^{2}{\alpha}\sin^{2}{\beta}+\cos^{2}{\alpha}\cos^{2}{\beta}=$1
(2)化简$\sqrt{\sin^{2}{\alpha}-\sin^{4}{\alpha}}$，其中$\alpha$是第二象限角.
角度2 证明三角恒等式

答案： 4.
(1)答案:1
解析：原式$=\sin^{2}\alpha(1-\sin^{2}\beta)+\sin^{2}\beta+\cos^{2}\alpha\cos^{2}\beta=$
$\sin^{2}\alpha\cos^{2}\beta+\cos^{2}\alpha\cos^{2}\beta+\sin^{2}\beta=(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha)\cos^{2}\beta+$
$\sin^{2}\beta=1$.
(2)解:因为$\alpha$是第二象限角,所以$\sin\alpha＞0$,$\cos\alpha＜0$,
所以$\sqrt{\sin^{2}\alpha-\sin^{4}\alpha}}=\sqrt{\sin^{2}\alpha(1-\sin^{2}\alpha)}}=\sqrt{\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha}}=$
$-\sin\alpha\cos\alpha$.