《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

3.(1)已知集合$A$中含有三个元素$a - 2$，$2a^{2} + 5a$，12，且$-3 \in A$，求$a$的值.
(2)已知集合$A$中含有三个元素0，1，$a^{2}$，集合$B$中含有三个元素1，0，$2a + 3$，若集合$A$与$B$相等，求$a$的值.

答案： 3.
(1)解：因为-3∈A，
所以a-2=-3或$2a^{2}$+5a=-3，
所以a=-1或a=-$\frac{3}{2}$.
当a=-1时，a-2=-3，$2a^{2}$+5a=-3，集合A不满足元素的互异性，所以a=-1舍去；
当a=-$\frac{3}{2}$时，经检验，符合题意.
综上，a=-$\frac{3}{2}$.
(2)解：因为集合A与集合B相等，所以$a^{2}$=2a+3，解得a=-1或a=3.
当a=-1时，$a^{2}$=1，2a+3=1，集合A，B均不满足元素的互异性，所以a≠-1.
当a=3时，经检验，符合题意.
综上，a=3.

1.下列各组对象不能构成一个集合的是 (C)

A.不超过20的非负实数
B.方程$x^{2}-4 = 0$在实数范围内的解
C.未来世界的高科技产品
D.某校体重超过130斤的同学的全体

答案： 1.C [A，B，D均有明确的标准，可以构成一个集合，C中“高科技产品”的标准不确定，不能构成一个集合.故选C.]

2.下列说法中不正确的是 (A)

A.若$a \in \mathbf{N}$，则$\frac{1}{a} \notin \mathbf{N}$
B.若$a \in \mathbf{Z}$，则$a^{2} \in \mathbf{Z}$
C.若$a \in \mathbf{Q}$，则$|a| \in \mathbf{Q}$
D.若$a \in \mathbf{R}$，则$\sqrt[3]{a} \in \mathbf{R}$

答案： 2.A [A不正确，反例：a=1∈N，$\frac{1}{a}$=1∈N.]

3.若以方程$x^{2}-5x + 6 = 0$和$x^{2}-x - 2 = 0$的解为元素组成集合$M$，则集合$M$中元素的个数为 (C)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 3.C [方程$x^{2}$-5x+6=0的解为x=2或x=3，$x^{2}$-x-2=0的解为x=2或x=-1，所以集合M中含有3个元素.]

4.已知集合$A$是由$0$，$m$，$m^{2}-3m + 2$三个元素构成的集合，且$2 \in A$，则实数$m =$3.

答案： 4.答案：3
解析：由题意知，m=2或$m^{2}$-3m+2=2，解得m=2或m=0或m=3.经验证，当m=0或m=2时，不满足集合中元素的互异性；当m=3时，满足题意.综上，m=3.

5.若集合$A$中有三个元素$x$，$x + 1$，1，集合$B$中也有三个元素$x$，$x + x^{2}$，$x^{2}$，且$A$与$B$相等，则实数$x$的值为-1.
提示：完成《课时作业》P213

答案： 5.答案：-1
解析：因为A与B相等，所以$\begin{cases}x + 1 = x^{2}\\1 = x + x^{2}\end{cases}$或$\begin{cases}x + 1 = x + x^{2}\\1 = x^{2}\end{cases}$，
解得x=±1.经检验，x=1不符合集合中元素的互异性，而x=-1符合，所以x=-1.