《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

知识点   对数函数
 一般地，函数①     叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是②
[点拨] 两种特殊的对数函数
(1)常用对数函数：y=lgx.
(2)自然对数函数：y=lnx.

答案： 知识点 ⓪1y=$\log_{a}x$($a＞0$,且$a\neq1$) Ⓜ2$(0,+\infty)$

1.(对数函数的判断)下列函数是对数函数的是(C)

A.$y = \log_{2}x^{2}$
B.$y = 3\log_{3}x$
C.$y = \log_{5}x$
D.$y = \log_{2}(x + 1)$

答案： 1.C

2.(对数型函数的定义域)函数$f(x) = \log_{2}(3x - 1)$的定义域为$\left(\frac{1}{3},+\infty\right)$.

答案： 2.$\left(\frac{1}{3},+\infty\right)$

3.(求对数函数的解析式)若对数函数$y = f(x)$的图象过点$(8,3)$，则对数函数的解析式为$f(x)=\log_{2}x$.

答案： 3.$f(x)=\log_{2}x$

例1 (1)给出下列函数：①$y = \log_{5}x + 1$；②$y = \log_{\sqrt{3}-1}x$；③$y = \log_{3}\frac{x}{3}$；④$y = \log_{x}\sqrt{3}(x＞0$，且$x\neq1)$；⑤$y = \log_{\frac{2}{3}}x$.其中是对数函数的是(D)
A.③④⑤
B.②④⑤
C.①③⑤
D.②⑤

答案： 例1
(1)[解析] 由对数函数的定义知,②⑤是对数函数.
故选D.
[答案] D

(2)已知对数函数$y = f(x)$的图象过点$(16,4)$，则$f\left( \frac{1}{2} \right) =$-1.

答案：
(2)[解析] 设对数函数为$f(x)=\log_{a}x$($a＞0$,且$a\neq1$),由$f(16)=4$可知$\log_{a}16=4$,$\therefore a=2$,$\therefore f(x)=\log_{2}x$.$\therefore f\left(\frac{1}{2}\right)=\log_{2}\frac{1}{2}=-1$.
[答案] -1

1.(1)已知下列函数：
①$y = \lg( - x)(x ＜ 0)$；②$y = 2\log_{4}(x - 1)(x ＞ 1)$；
③$y = \ln x(x ＞ 0)$；④$y = \log_{(a^{2} + a)}x(x ＞ 0,a$为常数).
其中是对数函数的是③(只填序号).
(2)若函数$f(x) = (a^{2} + a - 5)\log_{a}x$是对数函数，则$a =$2.

答案： 1.
(1)答案:③
解析:对于①,真数是$-x$,故①不是对数函数;对于②,$2\log_{4}(x - 1)$的系数是$2$,而不是$1$,且真数是$x - 1$,不是$x$,故②不是对数函数;对于③,$\ln x$的系数是$1$,真数是$x$,故③是对数函数;对于④,底数$a^{2}+a=\left(a+\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{4}$,当$a=-\frac{1}{2}$时,底数小于$0$,故④不是对数函数.
(2)答案:2
解析:由题意可得$a^{2}+a - 5=1$,解得$a=-3$或$a=2$.又$a＞0$,且$a\neq1$,所以$a=2$.