《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

知识点 函数的最大值与最小值

[提醒](1)最值首先是一个函数值，即存在一个自变量$x_0$，使得$f(x_0)$等于最值.
(2)对于定义域内的任意元素$x$，都有$f(x) \leq f(x_0)$(或$f(x) \geq f(x_0)$)，“任意”两个字不可省略.
[想一想] (1)任何函数都有最大值或最小值吗?
(2)函数$f(x)$在区间$[a, b]$上的最值一定是$f(a)$或$f(b)$吗?

答案： 知识点 ①$\leq$ ②$\geq$ ③$f(x_{0})=M$ ④纵坐标 ⑤纵坐标
[想一想]
(1)提示:不是.
(2)提示:不一定.

1.(利用图象求函数最值)函数$f(x)$在$[-2, +\infty)$上的图象如图所示，则此函数的最大值、最小值分别为 (C)


A.3,0
B.3,1
C.3,无最小值
D.3,-2

答案： 1.C

2.(利用单调性求函数最值)设函数$f(x)=3x + 2(x \geq 0)$，则$f(x)$ (B)

A.有最大值
B.有最小值
C.既有最大值又有最小值
D.既无最大值也无最小值

答案： 2.B

3.(求二次函数的最值)函数$y = x^2$在$[1, 2]$上的最大值与最小值之和为5.

答案： 3.5

4.(已知函数的最值求参数)函数$y = \frac{k}{x}$在区间$[2, 4]$上的最小值是5，则$k =$20.

答案： 4.20

例 1 已知函数$f(x)=\begin{cases}x^2, & -1 \leq x \leq 1, \\ \frac{1}{x}, & x ＞ 1.\end{cases}$求$f(x)$的最大值、最小值.

答案：
例1 [解] 作出函数$f(x)$的图象(如图).
由图象可知,当$x=\pm1$时,$f(x)$取得最大值,为$f(1)=f(-1)=1$;当$x=0$时,$f(x)$取得最小值,为$f(0)=0$.

故$f(x)$的最大值为1,最小值为0.