《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

例3 已知集合$A = \{x|ax^{2}-3x + 2 = 0\}$.
(1)若集合A中只有一个元素，求实数a的值；
(2)若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围.

答案： 例3 [解]
(1)当$a = 0$时,原方程可化为$- 3x + 2 = 0$,
解得$x = \frac{2}{3}$,符合题意.
当$a\neq0$时,方程$ax^2 - 3x + 2 = 0$为一元二次方程,
由题意,得$\Delta = 9 - 8a = 0$,解得$a = \frac{9}{8}$.
所以当$a = 0$或$a = \frac{9}{8}$时,集合A中只有一个元素.
(2)由题意,得当$\begin{cases}a\neq0,\\\Delta = 9 - 8a ＞ 0,\end{cases}$即$a ＜ \frac{9}{8}$,且$a\neq0$时,方程有两个不相等的实根,则集合A中有两个元素,
又由
(1)知,当$a = 0$或$a = \frac{9}{8}$时,集合A中只有一个元素,
所以实数$a$的取值范围是$\begin{cases}a\mid a ＜ \frac{9}{8}\end{cases}$.

3.(1)若$-3∈\{a - 3,2a - 1,a^{2}-1\}$，则a的值为－1
(2)设$a∈N,b∈N,a + b = 2,A = \{(x,y)|(x - a)^{2}+(y - a)^{2}=5b\}$，$(3,2)∈A$，求a，b的值.

答案： 3.
(1)答案：－1
解析：当$a - 3 = - 3$,即$a = 0$时,$2a - 1 = - 1 = a^2 - 1$,不符合题意;当$2a - 1 = - 3$,即$a = - 1$时,$a - 3 = - 4$,$a^2 - 1 = 0$,符合题意;又$a^2 - 1\geq - 1$,即$a^2 - 1\neq - 3$,所以$a$的值为－1.
(2)解：由$a + b = 2$,得$b = 2 - a$,代入$(x - a)^2 + (y - a)^2 = 5b$,得$(x - a)^2 + (y - a)^2 = 5(2 - a)$ ①,
又因为$(3,2)\in A$,将点代入①,可得$(3 - a)^2 + (2 - a)^2 = 5(2 - a)$,
整理,得$2a^2 - 5a + 3 = 0$,解得$a = 1$或1.5,
因为$a$是自然数,所以$a = 1$,所以$b = 2 - a = 1$.
综上,$a = 1$,$b = 1$.

1.已知$a∈\{0,1,2,3\}$，且$a∉\{1,2,3\}$，则a的值为 (A)

A.0
B.1
C.2
D.3

答案： 1.A [因为$a\in \{ 0 , 1 , 2 , 3 \}$,且$a\notin \{ 1 , 2 , 3 \}$,所以$a$的值为0.
故选A.]

2.由大于-3且小于11的偶数组成的集合是 (D)

A.$\{x∈Z|-3 ＜ x ＜ 11\}$
B.$\{x|-3 ＜ x ＜ 11\}$
C.$\{x|-3 ＜ x ＜ 11,x = 2k\}$
D.$\{x|-3 ＜ x ＜ 11,x = 2k,k∈Z\}$

答案： 2.D [由题意可知,满足题设条件的只有D.]

3.一次函数$y = x - 3$与$y = -2x$的图象的交点组成的集合是 (D)

A.$\{1,-2\}$
B.$\{x = 1,y = -2\}$
C.$\{(-2,1)\}$
D.$\{(1,-2)\}$

答案： 3.D [由$\begin{cases}y = x - 3,\\y = - 2x,\end{cases}$得$\begin{cases}x = 1,\\y = - 2,\end{cases}$所以两函数的图象的交点组成的集合是$\{ ( 1 , - 2 ) \}$.]

4.如图，坐标系中矩形OABC及其内部的点构成的集合可表示为$\{ ( x , y ) \mid - 2\leq x\leq0,0\leq y\leq1 \}$.

答案： 4.答案：$\{ ( x , y ) \mid - 2\leq x\leq0,0\leq y\leq1 \}$
解析：易知阴影部分的点构成的集合为$\{ ( x , y ) \mid - 2\leq x\leq0,0\leq y\leq1 \}$.

5.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集，则集合$A = \{-1,1,2\}$不是(填“是”或“不是”)可倒数集.试写出一个含三个元素的可倒数集：$\{ 1 , 2 , \frac{1}{2} \}$(答案不唯一).
提示：完成《课时作业》P215
第一章 集合与常用逻辑用语

答案： 5.答案：不是$\{ 1 , 2 , \frac{1}{2} \}$(答案不唯一)
解析：由于2的倒数$\frac{1}{2}$不在集合A中,故集合A不是可倒数集.若集合B为可倒数集,$a\in B$,则$\frac{1}{a}\in B$.若集合B中有三个元素,则必有一个元素满足$a = \frac{1}{a}$,即$a = \pm1$,故可取的集合有$\{ 1 , 2 , \frac{1}{2} \},\{ - 1 , 3 , \frac{1}{3} \}$等.