《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

3. 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比. 已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元.
(1)分别写出两类产品的收益与投资额x的函数关系式；
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金可使投资获得最大收益？最大收益是多少万元？

答案： 3.解：
(1)设稳健型产品和风险型产品的收益与投资$x$的函数关系式分别为$f(x)=k_{1}x(x\geq0)$，$g(x)=k_{2}\sqrt{x}(x\geq0)$，
结合已知得$f(1)=k_{1}=\frac{1}{8}$，$g(1)=k_{2}=\frac{1}{2}$，
所以$f(x)=\frac{1}{8}x(x\geq0)$，$g(x)=\frac{1}{2}\sqrt{x}(x\geq0)$.
(2)设投资稳健型产品$x$万元，则投资风险型产品$(20 - x)$万元，依题意得获得收益为$y = f(x)+g(20 - x)=\frac{x}{8}+\frac{1}{2}\sqrt{20 - x}(0\leq x\leq20)$，令$t=\sqrt{20 - x}(0\leq t\leq2\sqrt{5})$，
则$x = 20 - t^{2}$，所以$y=\frac{20 - t^{2}}{8}+\frac{t}{2}=-\frac{1}{8}(t - 2)^{2}+3$，所以当$t = 2$，即$x = 16$时，$y$取得最大值，$y_{\max}=3$.
故当投资稳健型产品$16$万元，投资风险型产品$4$万元时，可使投资获得最大收益，为$3$万元.

1. 设甲、乙两地的距离为$ a(a＞0) $米，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所走过的路程y(单位：米)与其所用的时间x(单位：分)的函数图象为 (D)

答案： 1.D

2. 某厂日生产文具盒的总成本y(单位：元)与日产量x(单位：套)之间的关系为$ y=6x+30000 $，而出厂价格为每套12元，且生产的文具盒能全部售完. 要使该厂不亏本，则至少日生产文具盒 (D)

A.2000套
B.3000套
C.4000套
D.5000套

答案： 2.D

3. 一个人以6 m/s的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25 m时，交通灯由红变绿，汽车以$ 1\ m/s^{2} $的加速度匀加速开走，那么 (D)

A.此人可在7 s内追上汽车
B.此人可在10 s内追上汽车
C.此人追不上汽车，其间距最少为5 m
D.此人追不上汽车，其间距最少为7 m

答案： 3.D

4. 为了保证信息的安全传输，有一种密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密). 现在加密密钥为$ y=x^{\alpha} $(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”. 若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是9.

答案： 4.答案：9

5. 如图所示是某通讯公司规定的打某国际长途电话所需要付的电话费y(单位：元)与通话时间t(单位：分钟)之间的函数关系图象.

根据图象填空：
(1)通话2分钟，需要付电话费3.6元；
(2)通话5分钟，需要付电话费6元；
(3)如果$ t\geqslant 3 $，则电话费y(单位：元)与通话时间t(单位：分钟)之间的函数关系式为$y = 1.2t(t\geq3)$.
提示：完成《课时作业》P267
章末总结

答案： 5.答案：
(1)$3.6$
(2)$6$
(3)$y = 1.2t(t\geq3)$