《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

例 2 比较下列各组值的大小：
(1)$\log_5 \frac{3}{4}$，$\log_5 \frac{4}{3}$；
(2)$\log_{\frac{1}{2}} 2$，$\log_{\frac{1}{5}} 2$；
(3)$\log_2 3$，$\log_5 4$；
(4)$\log_a \pi$，$\log_a 3.14 (a＞0$，且$a \neq 1)$.

答案：
例2　[解]　
(1)解法一(单调性法):因为对数函数y=log₅x 在(0,+∞)上是增函数，且$\frac{3}{4}$＜$\frac{4}{3}$,
所以log₅$\frac{3}{4}$＜log₅$\frac{4}{3}$.
解法二(中间值法):因为log₅$\frac{3}{4}$＜0,log₅$\frac{4}{3}$＞0,
所以log₅$\frac{3}{4}$＜log₅$\frac{4}{3}$.
(2)解法一(单调性法):由于log₍₁/₂₎2=-1/(log₂(1/3))= -1/(log₂1 - log₂3)=1/(log₂3)
又对数函数y=log₂x在(0,+∞)上是增函数,
且1＞$\frac{1}{3}$＞$\frac{1}{5}$,所以0＞log₂(1/3)＞log₂(1/5),
所以-1/(log₂(1/3))＜-1/(log₂(1/5)),所以log₍₁/₂₎2＜log₍₁/₂₎(1/5).
解法二(图象法):如图，在同一直角
坐标系中分别画出y=log₍₁/₂₎x及y=
log₍₁/₂₎(1/x)的图象，由图易知log₍₁/₂₎2＜
log₍₁/₂₎(1/5).
(3)取中间值1,
因为log₂3＞log₂2=1=log₅5＞log₅4,所以log₂3＞log₅4.
(4)当a＞1时,函数y=logₐx在定义域上是增函数,则有logₐπ＞logₐ3.14;
当0＜a＜1时，函数y=logₐx在定义域上是减函数,则有logₐπ＜logₐ3.14.
综上所述,当a＞1时,logₐπ＞logₐ3.14;
当0＜a＜1时,logₐπ＜logₐ3.14.

2. 比较下列各组中两个值的大小：
(1)$\log_3 1.99$，$\log_3 2$；
(2)$\log_3 0.2$，$\log_4 0.2$；
(3)$\log_2 3$，$\log_{0.3} 2$.

答案： 2.解:
(1)(单调性法)因为f(x)=log₃x在(0,+∞)上是增函数，且1.99＜2,
所以f(1.99)＜f
(2),即log₃1.99＜log₃2.
(2)因为0＞log₀.₂3＞log₀.₂4,
所以$\frac{1}{log₀.₂3}$＜$\frac{1}{log₀.₂4}$,即log₃0.2＜log₄0.2.
(3)(中间值法)因为log₂3＞log₂1=0,
log₀.₃2＜log₀.₃1=0,
所以log₂3＞log₀.₃2.

例 3 已知$2 \log_a (x - 4) ＞ \log_a (x - 2)$，求$x$的取值范围.

答案： 例3　[解]　原不等式可变为logₐ(x−4)²＞logₐ(x−2),当a＞1时,y=logₐx为定义域内的增函数,
∴$\begin{cases}(x - 4)^2 ＞ x - 2 \\ x - 4 ＞ 0 \\ x - 2 ＞ 0\end{cases}$，解得x＞6;
当0＜a＜1时,y=logₐx为定义域内的减函数,
∴$\begin{cases}(x - 4)^2 ＜ x - 2 \\ x - 4 ＞ 0 \\ x - 2 ＞ 0\end{cases}$，解得4＜x＜6.
综上所述，当a＞1时,x的取值范围为(6,+∞);
当0＜a＜1时,x的取值范围为(4,6).

3. (1)已知$\log_a \frac{1}{2}＞1$，则实数$a$的取值范围为
(2)已知$\log_{0.7} (2x)＜\log_{0.7} (x - 1)$，则$x$的取值范围为(1,+∞).

答案： 3.
(1)答案:($\frac{1}{2}$,1)
解析:由logₐ$\frac{1}{2}$＞1,得logₐ$\frac{1}{2}$＞logₐa.①当a＞1时,有a＜$\frac{1}{2}$,此时无解;②当0＜a＜1时，有$\frac{1}{2}$＜a,从而$\frac{1}{2}$＜a ＜1.综上,实数a的取值范围为($\frac{1}{2}$,1).
(2)答案:(1,+∞)
解析:因为函数y=log₀.₇x在(0,+∞)上为减函数,所以由
$\begin{cases}2x ＞ 0 \\ x - 1 ＞ 0 \\ 2x ＞ x - 1\end{cases}$，解得x＞1,故x
的取值范围为(1,+∞).