《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

例1 给出下面三个推导过程：
①因为$a ＞ 0,b ＞ 0$，所以$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2\sqrt{\frac{b}{a} · \frac{a}{b}} = 2$；
②因为$a ＞ 0$，所以$a^2 - 1 + \frac{1}{a^2 - 1} \geq 2\sqrt{(a^2 - 1) · \frac{1}{a^2 - 1}} = 2$；
③因为$x,y \in \mathbf{R},xy ＜ 0$，所以$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = -[(-\frac{x}{y}) + (-\frac{y}{x})] \leq -2\sqrt{(-\frac{x}{y})(-\frac{y}{x})} = -2$.
其中正确的推导过程为 (D)
A.①②
B.②③
C.②
D.①③
【感悟提升】基本不等式$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}(a ＞ 0,b ＞ 0)$的两个关注点
(1)不等式成立的条件：$a,b$都是正实数.
(2)“当且仅当”的含义
①当$a = b$时，$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$的等号成立，即$a = b \Rightarrow \frac{a + b}{2} = \sqrt{ab}$；
②仅当$a = b$时，$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$的等号成立，即$\frac{a + b}{2} = \sqrt{ab} \Rightarrow a = b$.

答案： 例1　[解析]　①因为$a＞0,b＞0$，所以$\frac{b}{a}＞0,\frac{a}{b}＞0$，符合基本不等式成立的条件，故①的推导过程正确；②因为当$a＞0$时，$a^2 -1$不一定为正，所以②的推导过程错误；③由$xy＜0$，得$\frac{x}{y},\frac{y}{x}$均为负数，但在推导过程中将$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$看作一个整体提出负号后，$-\frac{x}{y},-\frac{y}{x}$均为正数，符合基本不等式成立的条件，故③的推导过程正确。
[答案]　D

1.下列不等式的推导过程正确的是  (①②)
①若$x ＞ 1$，则$x + \frac{1}{x} ＞ 2\sqrt{x$$· \frac{1}{x}} = 2$；
②若$x ＜ 0$，则$x + \frac{4}{x} = -[(-x) + (-\frac{4}{x})]$$\leq -2\sqrt{(-x) · (-\frac{4}{x})} = -4$；
③若$x,y \in \mathbf{R}$，则$|x + \frac{2}{y}| = |x| + \frac{2}{|y|} \geq 2\sqrt{|x| · \frac{2}{|y|}}$.

答案： 1.答案:①②
解析:③中当$x,y$异号时，不成立。

例2 已知$a ＞ 0,b ＞ 0$，且$a \neq b$，则$\frac{a + b}{2}$，$\sqrt{ab}$，$\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$，$\frac{2ab}{a + b}$中最小的是  $\frac{2ab}{a + b}$.

答案： 例2　[解析]　解法一：$\because \frac{2ab}{a + b} \leq \frac{ab}{a + b} \leq \frac{ab}{\frac{a + b}{2}} = \sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2}$，又$2ab \leq a^2 + b^2$，$\therefore (a + b)^2 \leq 2(a^2 + b^2)$，$\therefore \frac{(a + b)^2}{4} \leq \frac{a^2 + b^2}{2}$，$\therefore \frac{a + b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$。综上所述，$\frac{2ab}{a + b} \leq \sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$（当且仅当$a = b$时，等号成立）。又$a \neq b$，$\therefore \frac{2ab}{a + b} ＜ \sqrt{ab} ＜ \frac{a + b}{2} ＜ \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$，$\therefore \frac{2ab}{a + b}$最小。
解法二(特殊值法)：令$a = 4,b = 2$，则$\frac{a + b}{2} = 3,\sqrt{ab} = 2\sqrt{2}$，$\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} = \sqrt{10}$，$\frac{2ab}{a + b} = \frac{8}{3}$，$\therefore \frac{2ab}{a + b}$最小。
[答案]$\frac{2ab}{a + b}$

2.已知$0 ＜ a ＜ 1,0 ＜ b ＜ 1$，且$a \neq b$，则$a + b,2\sqrt{ab},2ab,a^2 + b^2$中最大的是  $a + b$.

答案： 2.答案:$a + b$
解析:因为$0＜a＜1,0＜b＜1,a≠b$，所以$a^2 + b^2＞2ab,a + b ＞2\sqrt{ab}$，所以最大的只能是$a^2 + b^2$与$a + b$其中之一。而$a^2 + b^2−(a + b)=a(a−1)+b(b−1)$，又$0＜a＜1,0＜b＜1$，所以$a−1＜0,b−1＜0$，所以$a^2 + b^2＜a + b$，所以$a + b$最大。

例3 (1)若$x ＞ 2$，则$\frac{1}{x - 2} + x$的最小值为  4.
(2)已知$0 ＜ x ＜ \frac{1}{2}$，则$\frac{1}{2}x(1 - 2x)$的最大值为  $\frac{1}{16}$.
(3)已知$x ＞ 1$，则$\frac{x^2 + 2}{x - 1}$的最小值为  $2\sqrt{3} + 2$.
(4)已知$x ＞ -1$，则$\frac{x + 1}{x^2 + 3x + 8}$的最大值为  $\frac{2\sqrt{6} - 1}{23}$.

答案： 例3
(1)[解析]　因为$x＞2$，所以$x−2＞0$，$\frac{1}{x−2} + x = \frac{1}{x−2} + x - 2 + 2 \geq 2\sqrt{(x - 2) · \frac{1}{x - 2}} + 2 = 4$，当且仅当$x - 2 = \frac{1}{x - 2}$，即$x = 3$时，等号成立，所以$\frac{1}{x - 2} + x$的最小值为4。
[答案]　4
(2)[解析]　因为$0＜x＜\frac{1}{2}$，所以$1 - 2x＞0$，$\frac{1}{2}x(1 - 2x) = \frac{1}{4} × 2x(1 - 2x) \leq \frac{1}{4} \left[ \frac{2x + (1 - 2x)}{2} \right]^2 = \frac{1}{16}$，当且仅当$2x = 1 - 2x$，即$x = \frac{1}{4}$时，等号成立，所以$\frac{1}{2}x(1 - 2x)$的最大值为$\frac{1}{16}$。
[答案]　$\frac{1}{16}$
(3)[解析]　因为$x＞1$，所以$x - 1＞0$，则$\frac{x^2 + 2}{x - 1} = \frac{x^2 - 1 + 3}{x - 1} = x - 1 + \frac{3}{x - 1} + 2 \geq 2\sqrt{3} + 2$，当且仅当$x - 1 = \frac{3}{x - 1}$，即$x = \sqrt{3} + 1$时，等号成立。故$\frac{x^2 + 2}{x - 1}$的最小值为$2\sqrt{3} + 2$。
[答案]　$2\sqrt{3} + 2$
(4)[解析]　因为$x＞ -1$，所以$x + 1＞0$，则$\frac{x + 1}{x^2 + 3x + 8} = \frac{x + 1}{x^2 + x + 2x + 2 + 6} = \frac{x + 1}{(x + 1)^2 - (x + 1) + \frac{9}{x + 1} + 1} = \frac{1}{x + 1 + \frac{6}{x + 1} + 1} \leq \frac{1}{2\sqrt{6} + 1}$，所以$x + 1 + \frac{6}{x + 1} + 1 \geq 2\sqrt{6} + 1$，所以$\frac{x + 1}{x^2 + 3x + 8} \leq \frac{1}{2\sqrt{6} + 1} = \frac{2\sqrt{6} - 1}{23}$，当且仅当$x + 1 = \frac{6}{x + 1}$，即$x = \sqrt{6} - 1$时，等号成立。故$\frac{x + 1}{x^2 + 3x + 8}$的最大值为$\frac{2\sqrt{6} - 1}{23}$。
[答案]　$\frac{2\sqrt{6} - 1}{23}$