《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

知识点一 根式的定义
(1)a 的 n 次方根的定义：一般地，如果 xn=a，那么 x 叫做①a 的 n 次方根，其中 n＞1，且 n∈N∗。
(2)a 的 n 次方根的表示
①当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n 次方根是一个负数. a 的 n 次方根用符号②​ 表示；
②当 n 是偶数时，正数的 n 次方根有两个，这两个数互为相反数. 正数 a 的正的 n 次方根用符号③​ 表示，负的 n 次方根用符号④​表示. 正的 n 次方根与负的 n 次方根可以合并写成⑤；
③负数⑥没有偶次方根；
④0 的任何次方根都是⑦，记作⑧​.
(3)根式：式子   ​ 叫做根式，这里 n 叫做⑨，a 叫做⑩​.

答案： 知识点一 ⓐ$a$ 的$n$ 次方根 ⓑ$\sqrt[n]{a}$ ⓒ$\sqrt[n]{a}$ ⓓ$-\sqrt[n]{a}$
ⓔ$\pm\sqrt[n]{a}(a＞0)$ ⓕ没有 ⓰$0$ ⓘ$\sqrt[n]{0}=0$ ⓙ根指数
ⓚ被开方数
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知识点二 根式的性质

答案： 知识点二 ⓐ$a$ ⓑ$a$ ⓒ$\mid a\mid$ ⓓ$\begin{cases}a,a\geqslant0,\\ -a,a＜0\end{cases}$

知识点三 分数指数幂的意义
(1)$a^{\frac{m}{n}} =$$\underline{ ①}$$(a ＞ 0,m,n\in N^*,n ＞ 1)$，
=$\underline{ ②}$$(a ＞ 0,m,n\in N^*,n ＞ 1)$.
(2)0 的正分数指数幂等于$0$③，0 的负分数指数幂没有意义④.
[想一想] 分数指数幂中，为什么规定 $a ＞ 0$？
[点拨] (1)分数指数幂 $a^{\frac{m}{n}}$ 不可理解为 $\frac{m}{n}$ 个 $a$ 相乘.
(2)把根式 $\sqrt[n]{a^m}$ 化成分数指数幂的形式时，不要轻易对 $\frac{m}{n}$ 进行约分.
(3)正数的负分数指数幂总表示正数，而不是负数.

答案： 知识点三 ⓐ$\sqrt[n]{a^{m}}$ ⓑ$\frac{1}{\sqrt[n]{a^{m}}}$ ⓒ$0$ ⓓ没有意义
[想一想] 提示：当$a = 0$时,$a^{0}$及$a$的负分数指数幂没有
意义;当$a＜0$时,若$n$为偶数,$m$为奇数,则$a^{\frac{m}{n}},a^{-\frac{m}{n}}$无意义.因此规定$a＞0$就省去了不必要的讨论,便于学习和应用.