《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

例4　在同一平面直角坐标系中，画出函数$y = \sin x,x\in[0,3\pi]$和$y = \lg x$的图象，根据图象判断方程$\sin x = \lg x$在$[0,3\pi]$上的解的个数.

答案：
[解] 建立平面直角坐标系$xOy$，先用“五点法”画出函数$y = \sin x$，$x \in [0, 3\pi]$的图象.
描出点(1,0)，(10,1)，并用光滑曲线连接得到$y = \lg x$的图象，如图所示.

由图可知，方程$\sin x = \lg x$在$[0, 3\pi]$上的解的个数为3.

4.判断方程$x^{2} - \cos x = 0$在$[-\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]$上的解的个数.

答案：
解：方程$x^{2} - \cos x = 0$在$[-\frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$上的解的个数，即为
函数$y = x^{2}$的图象与函数$y = \cos x$，$x \in [-\frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$的图象的交点个数.
在同一平面直角坐标系中，画出函数$y = x^{2}$的图象和函数$y = \cos x$，$x \in [-\frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$的图象，如图所示.

由图可知，方程$x^{2} - \cos x = 0$在$[-\frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$上的解的个数为2.

1.用“五点法”画函数$y = 1 - 2\sin x$的图象时，首先应描出的五点的横坐标是 (C)

A.$0,\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4},\pi$
B.$0,\pi,2\pi,3\pi,4\pi$
C.$0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi$
D.$0,\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2},\frac{2\pi}{3}$

答案： 1.C [所描出的五点的横坐标与正弦函数$y = \sin x$的五点的横坐标相同，即$0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$.故选C.]

2.对于余弦函数$y = \cos x$的图象，下列说法错误的是 (D)

A.与$x$轴有无数多个交点
B.与$y$轴只有 1 个交点
C.不超过直线$y = 1$和$y = - 1$所夹的范围
D.可由$y = \sin x$的图象向右平移$\frac{\pi}{2}$个单位长度得到

答案：
2.D [如图所示为$y = \cos x$的图象，可知A，B，C描述均正确；$y = \cos x$的图象可由$y = \sin x$的图象向左平移$\frac{\pi}{2}$个单位长度得到，D错误.故选D.]

3.下列各组函数，图象相同的是 (D)

A.$f(x) = \sin x$与$g(x) = \sin(\pi + x)$
B.$f(x) = \sin(x - \frac{\pi}{2})$与$g(x) = \sin(\frac{\pi}{2} - x)$
C.$f(x) = \sin x$与$g(x) = \sin( - x)$
D.$f(x) = \sin(2\pi + x)$与$g(x) = \sin x$

答案： 3.D [A，B，C中$f(x) = -g(x)$，D中$f(x) = g(x)$.]

4.在$[-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]$上，不等式$\sin x ＞ - \frac{1}{2}$的解集为$\{x| -\frac{\pi}{6} ＜ x ＜ \frac{7\pi}{6}\}$.

答案：
4.答案：$\{x| -\frac{\pi}{6} ＜ x ＜ \frac{7\pi}{6}\}$
解析：画出函数$y = \sin x$在$[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$上的图象及直线$y = -\frac{1}{2}$，如图，由图可知，不等式$\sin x ＞ -\frac{1}{2}$的解集为$\{x| -\frac{\pi}{6} ＜ x ＜ \frac{7\pi}{6}\}$.

5.定义在区间$[0,2\pi]$上的函数$y = 2\sin x$的图象与$y = \cos x$的图象的交点个数为2.

答案：
5.答案：2
解析：画出函数$y = 2\sin x$与$y = \cos x$在$[0, 2\pi]$上的图象，如图所示.由图可知，在$[0, 2\pi]$上，两函数图象在$[0, \pi]$上有1个交点，在$(\pi, 2\pi]$上有1个交点.所以函数$y = 2\sin x$的图象与$y = \cos x$的图象在区间$[0, 2\pi]$上共有2个交点.