《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

1.若$a,b$为正实数，且$a + b = 2$，则$ab$的最大值为 (B)

A.$\sqrt{3}$
B.1
C.$2\sqrt{3}$
D.2

答案： 1.B [因为$a,b$为正实数，且$a + b = 2 \geq 2\sqrt{ab}$，当且仅当$a = b = 1$时，等号成立，所以$ab \leq 1$。故选B。]

2.已知$x ＞ 1$，则$\frac{x^2 - x + 1}{x - 1}$的最小值为 (C)

A.$1 + \sqrt{2}$
B.2
C.3
D.4

答案： 2.C [$\frac{x^2 - x + 1}{x - 1} = \frac{x(x - 1) + 1}{x - 1} = x + \frac{1}{x - 1} = x - 1 + \frac{1}{x - 1} + 1 \geq 2 + 1 = 3$，当且仅当$x - 1 = \frac{1}{x - 1}$，即$x = 2$时，等号成立。故选C。]

3.(多选)已知正数$a,b$，则下列说法正确的是 (BC)

A.$\sqrt{a^2 + 2} + \frac{1}{\sqrt{a^2 + 2}}$的最小值为2
B.$(a + b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq 4$
C.$\frac{a^2 + b^2}{\sqrt{ab}} \geq 2\sqrt{ab}$
D.$\frac{2ab}{a + b} ＞ \sqrt{ab}$

答案： 3.BC [对于A，$\sqrt{a^2 + 2} + \frac{1}{\sqrt{a^2 + 2}} \geq 2$，当且仅当$\sqrt{a^2 + 2} = 1$时，等号成立，而$\sqrt{a^2 + 2} ＞ \sqrt{2}$，故等号不成立，A不正确；对于B，$(a + b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = 1 + 1 + \frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2 + 2\sqrt{\frac{b}{a} · \frac{a}{b}} = 4$，当且仅当$a = b$时，等号成立，故B正确；对于C，$\frac{a^2 + b^2}{\sqrt{ab}} \geq \frac{2ab}{\sqrt{ab}} = 2\sqrt{ab}$，当且仅当$a = b$时，等号成立，故C正确；对于D，$\frac{2ab}{a + b} \leq \frac{2ab}{2\sqrt{ab}} = \sqrt{ab}$，当且仅当$a = b$时，等号成立，故D不正确。故选BC。]

4.已知$a ＞ b ＞ c$，则$\sqrt{(a - b)(b - c)}$与$\frac{a - c}{2}$的大小关系是  $\sqrt{(a - b)(b - c)} \leq \frac{a - c}{2}$.

答案：
4.答案：$\sqrt{(a - b)(b - c)} \leq \frac{a - c}{2}$
解析：$\because a ＞ b ＞ c$，$\therefore a - b ＞ 0,b - c ＞ 0$，$\therefore \sqrt{(a - b)(b - c)} \leq \frac{(a - b) + (b - c)}{2} = \frac{a - c}{2}$，当且仅当$a + c = 2b$时，等号成立。

5.已知$x,y$都是正数.若$3x + 2y = 12$，则$xy$的最大值为  6;若$x + 2y = 3$，则$\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$的最小值为  $1 + \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

答案： 5.答案：$6 \ 1 + \frac{2\sqrt{2}}{3}$
解析：$\because 3x + 2y = 12$，$\therefore xy = \frac{1}{6} · 3x · 2y \leq \frac{1}{6} × (\frac{3x + 2y}{2})^2 = 6$，当且仅当$3x = 2y$，即$x = 2,y = 3$时，等号成立，$\therefore xy$的最大值为6。$\because x + 2y = 3$，$\therefore 1 = \frac{x}{3} + \frac{2y}{3}$，$\therefore \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})(\frac{x}{3} + \frac{2y}{3}) = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \frac{x}{3y} + \frac{2y}{x} \geq 1 + 2\sqrt{\frac{x}{3y} · \frac{2y}{x}} = 1 + \frac{2\sqrt{2}}{3}$，当且仅当$\frac{x}{3y} = \frac{2y}{x}$，即$x = 3\sqrt{2} - 3,y = 3 - \frac{3\sqrt{2}}{2}$时，等号成立，$\therefore \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$的最小值为$1 + \frac{2\sqrt{2}}{3}$。

知识点一 利用基本不等式证明不等式
利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆、并、配等变形，使之达到能使用基本不等式的形式.

答案： 答题（例如证明$a,b,c \in \mathbf{R}^+$，$a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc}$（三次根号下abc）时）：
由基本不等式知，对于任意正实数$x, y$，有$x + y \geq 2\sqrt{xy}$（当且仅当$x = y$时取等号）。
对于三个正数$a, b, c$，可以将其视为两组数之和：$a + b + c$。
首先，将$a, b$看作一组，应用基本不等式：
$a + b \geq 2\sqrt{ab}$
然后，将上述结果与$c$相加，再次应用基本不等式：
$2\sqrt{ab} + c \geq 2\sqrt{2\sqrt{ab} · c} = 2\sqrt[4]{ab · c^2}$
但由于我们需要的是三个数的算术平均数与几何平均数之间的关系，所以上述步骤并不直接得出最终结果。
为了得到所需形式，考虑三次根号下的几何平均数，可以这样变形：
由基本不等式的三次形式（即AM-GM不等式的三次形式）知：
$\frac{a+b+c}{3} \geq \sqrt[3]{\frac{a · b · c}{1 · 1 · 1}} = \sqrt[3]{abc}$
两边同时乘以3，得到：
$a + b + c \geq 3\sqrt[3]{abc}$
当且仅当$a = b = c$时，上述不等式取等号。
所以，证明了对于所有正实数$a, b, c$，不等式$a + b + c \geq 3\sqrt[3]{abc}$成立。

知识点二 利用基本不等式解决实际问题
利用基本不等式解决实际问题的关键是构建模型，分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他变量.

答案： 假设题目为：用长为$16 m$的铁丝围成一个矩形，问怎样围能使所围矩形面积最大，最大面积为多少？
设矩形一边长为$x m$，则其邻边长为$\frac{16 - 2x}{2}=(8 - x) m$，设矩形面积为$S m^2$。
1. 表示面积函数：
$S = x(8 - x)= -x^{2}+8x$，根据已知也可根据基本不等式求解，矩形面积$S = x(8 - x)$，由基本不等式$a+b\geqslant2\sqrt{ab}(a\gt0,b\gt0,当且仅当a = b时等号成立)$，对于$x$和$8 - x$（$x\gt0,8 - x\gt0$），有$x+(8 - x)=8$（定值）。
2. 利用基本不等式求最值：
$S=x(8 - x)\leqslant(\frac{x+(8 - x)}{2})^2=(\frac{8}{2})^2 = 16$，当且仅当$x = 8 - x$，即$x = 4$时等号成立。
答：围成边长为$4 m$的正方形时，所围矩形面积最大，最大面积为$16 m^2$。

1.(利用基本不等式求参数)已知$a＞0,b＞0$，若不等式$\frac{3}{a}+\frac{1}{b}\geq\frac{m}{a + 3b}$恒成立，则$m$的最大值为 (B)

A.9
B.12
C.18
D.24

答案： 1.B

2.(基本不等式在实际问题中的应用)某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买$x$吨，运费为 4 万元/次，一年的总存储费用为$4x$万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则$x=$20.

答案： 2.20

例 1 已知$a,b,c$是不全相等的三个正数，
求证：$\frac{b + c - a}{a}+\frac{a + c - b}{b}+\frac{a + b - c}{c}＞3$.

答案： 例1 [证明]$\frac {b+c-a}{a}+\frac {a+c-b}{b}+\frac {a+b-c}{c}$
$=\frac {b}{a}+\frac {c}{a}+\frac {a}{b}+\frac {c}{b}+\frac {a}{c}+\frac {b}{c}-3$
$=(\frac {b}{a}+\frac {a}{b})+(\frac {c}{a}+\frac {a}{c})+(\frac {c}{b}+\frac {b}{c})-3$.
$\because a,b,c$都是正数，
$\therefore \frac {b}{a}+\frac {a}{b}\geqslant 2\sqrt {\frac {b}{a}· \frac {a}{b}}=2$，
同理,$\frac {c}{a}+\frac {a}{c}\geqslant 2,\frac {c}{b}+\frac {b}{c}\geqslant 2$，
$\because a,b,c$不全相等，上述三式不能同时取等号，
$\therefore (\frac {b}{a}+\frac {a}{b})+(\frac {c}{a}+\frac {a}{c})+(\frac {c}{b}+\frac {b}{c})＞6$，
$\therefore \frac {b+c-a}{a}+\frac {a+c-b}{b}+\frac {a+b-c}{c}＞3$.