《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

1.已知$\alpha\in\left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right)$，$\tan{\alpha}=2$，则$\cos{\alpha}=$
$-\frac{\sqrt{5}}{5}$

答案： 1.答案:$-\frac{\sqrt{5}}{5}$
解析：由已知,得$\begin{cases}\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=2 ①,\\\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1 ②,\end{cases}$
由①,得$\sin\alpha=2\cos\alpha$,代入②,得$4\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1$,所以$\cos^{2}\alpha=\frac{1}{5}$.又
$\alpha\in\left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right)$,所以$\cos\alpha＜0$,所以$\cos\alpha=-\frac{\sqrt{5}}{5}$.

例 2 已知$\tan{\alpha}=3$，求$\frac{4\sin{\alpha}-\cos{\alpha}}{3\sin{\alpha}+5\cos{\alpha}}$的值.
[结论探究] 在本例条件不变的情况下，求$\frac{3}{4}\sin^{2}{\alpha}+\frac{1}{2}\cos^{2}{\alpha}$的值.
【感悟提升】关于$\sin{\alpha},\cos{\alpha}$的齐次式的求值方法
(1)关于$\sin{\alpha},\cos{\alpha}$的齐次式就是式子中的每一项都是关于$\sin{\alpha},\cos{\alpha}$的式子且它们的次数之和相同，设为$n$次，将分子、分母同除以$\cos{\alpha}$的$n$次幂，其式子可化为关于$\tan{\alpha}$的式子，再代入求值.
(2)若无分母，把分母看作$1$，并将$1$用$\sin^{2}{\alpha}+\cos^{2}{\alpha}$来代换，将分子、分母同除以$\cos^{2}{\alpha}$，可化为关于$\tan{\alpha}$的式子，再代入求值.

答案： 例2 [解] 解法一:原式$=\frac{4\tan\alpha - 1}{3\tan\alpha + 5}=\frac{4×3 - 1}{3×3 + 5}=\frac{11}{14}$.
解法二:$\because\tan\alpha=3$,$\therefore\sin\alpha=3\cos\alpha$.
$\therefore$原式$=\frac{4×3\cos\alpha-\cos\alpha}{3×3\cos\alpha + 5\cos\alpha}=\frac{11\cos\alpha}{14\cos\alpha}=\frac{11}{14}$.
解法三:$\because\tan\alpha=3＞0$,$\therefore\sin\alpha=3\cos\alpha$.
又$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1$,
$\therefore\sin\alpha=\frac{3\sqrt{10}}{10}$,$\cos\alpha=\frac{\sqrt{10}}{10}$,或$\sin\alpha=-\frac{3\sqrt{10}}{10}$
$\cos\alpha=-\frac{\sqrt{10}}{10}$
$\therefore$原式$=\frac{11}{14}$.
[结论探究] 解:原式$=\frac{\frac{3}{4}\sin^{2}\alpha+\frac{1}{2}\cos^{2}\alpha}{\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha}=\frac{\frac{3}{4}\tan^{2}\alpha+\frac{1}{2}}{\tan^{2}\alpha + 1}$
$=\frac{\frac{3}{4}×9+\frac{1}{2}}{9 + 1}=\frac{29}{40}$.

2.已知$\frac{\sin{\alpha}+\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}-\cos{\alpha}}=2$，计算下列各式的值：
(1)$\frac{3\sin{\alpha}-\cos{\alpha}}{2\sin{\alpha}+3\cos{\alpha}}$；(2)$\sin^{2}{\alpha}-2\sin{\alpha}\cos{\alpha}+1$.
题型二 $\sin\alpha\pm\cos\alpha$，$\sin\alpha\cos\alpha$的应用

答案： 2.解:由$\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=2$,化简,得$\sin\alpha=3\cos\alpha$,
所以$\tan\alpha=3$.
(1)解法一(换元):原式$=\frac{3×3\cos\alpha-\cos\alpha}{2×3\cos\alpha+3\cos\alpha}=\frac{8\cos\alpha}{9\cos\alpha}=\frac{8}{9}$.
解法二(弦化切):原式$=\frac{3\tan\alpha - 1}{2\tan\alpha + 3}=\frac{3×3 - 1}{2×3 + 3}=\frac{8}{9}$.
(2)原式$=\frac{\sin^{2}\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha}+1=\frac{\tan^{2}\alpha-2\tan\alpha}{\tan^{2}\alpha + 1}+1=$
$\frac{3^{2}-2×3}{3^{2}+1}+1=\frac{13}{10}$.

例 3 已知$\sin{\alpha}+\cos{\alpha}=-\frac{1}{3},0＜\alpha＜\pi$.
(1)求$\sin\alpha\cos{\alpha}$的值；(2)求$\sin{\alpha}-\cos{\alpha}$的值.(1) $\sin\alpha\cos\alpha=-\frac{4}{9}$; (2) $\sin\alpha-\cos\alpha=\frac{\sqrt{17}}{3}$.

答案： 例3 [解]
(1)由$\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{3}$,得$(\sin\alpha+\cos\alpha)^{2}=\frac{1}{9}$,
即$\sin^{2}\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^{2}\alpha=\frac{1}{9}$,
所以$\sin\alpha\cos\alpha=-\frac{4}{9}$.
(2)因为$0＜\alpha＜\pi$,$\sin\alpha+\cos\alpha＜0$,
所以$\sin\alpha＞0$,$\cos\alpha＜0$,所以$\sin\alpha-\cos\alpha＞0$.
所以$\sin\alpha-\cos\alpha=\sqrt{(\sin\alpha-\cos\alpha)^{2}}=\sqrt{1-2\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{\sqrt{17}}{3}$.