《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

2.求下列函数的定义域：
(1)$y = \sqrt{x - 1} + \sqrt{1 - x}$；(2)$y = \frac{x + 1}{x^2 - 1}$；
(3)$y = (1 - 2x)^0$.

答案： 解：
(1)要使函数有意义，则$\begin{cases}x - 1 \geqslant 0\\1 - x \geqslant 0\end{cases}$，即$\begin{cases}x \geqslant 1\\x \leqslant 1\end{cases}$，所以$x = 1$，所以函数的定义域为$\{x\mid x = 1\}$.
(2)因为$x^2 - 1≠0$，即$x≠±1$时，$\frac{x + 1}{x^2 - 1}$有意义，所以函数的定义域是$\{x\mid x≠±1\}$.
(3)由题意，得$1 - 2x≠0$，即$x≠\frac{1}{2}$，所以函数的定义域为$\{x\mid x≠\frac{1}{2}\}$.

例3 已知函数$f(x) = \frac{1}{x + 2}$，$g(x) = 3x^2 + 1$.
(1)求$f(1)$，$g(1)$，$f(g(1))$的值；
(2)求$f(a - 1)$，$g(a + 1)$，$f(g(a + 1))$.

答案： [解]
(1)$f(1)=\frac{1}{1 + 2}=\frac{1}{3}$，$g(1)=3×1^2 + 1 = 4$，$f(g(1))=f(4)=\frac{1}{4 + 2}=\frac{1}{6}$.
(2)$f(a - 1)=\frac{1}{(a - 1)+2}=\frac{1}{a + 1}$，$g(a + 1)=3(a + 1)^2 + 1 = 3a^2 + 6a + 4$，$f(g(a + 1))=f(3a^2 + 6a + 4)=\frac{1}{3a^2 + 6a + 6}$.

3.(1)已知函数$f(x) = 3x - 2$，则$f(f(\frac{7}{9})) =$$-1$.
(2)若函数$f(x) = 2x + 1$，且$f(2m - 1) = 7$，则$m =$$2$.

答案：
(1)答案:$-1$
解析：由$f(x)=3x - 2$，得$f(\frac{7}{9})=3×\frac{7}{9}-2=\frac{1}{3}$，则$f(f(\frac{7}{9}))=f(\frac{1}{3})=3×\frac{1}{3}-2=-1$.
(2)答案:$2$
解析：由$f(x)=2x + 1$，得$f(2m - 1)=2(2m - 1)+1 = 4m - 1 = 7$，解得$m = 2$.

例4 试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式$y = \frac{300}{x}$来描述.

答案： [解] 把$y=\frac{300}{x}$看作反比例函数，那么它的定义域为$\{x\mid x≠0\}$，值域是$B=\{y\mid y≠0\}$，对应关系把定义域中任意一个数$x$，对应到$B$中唯一确定的数$\frac{300}{x}$.
如果对$x$的取值范围作出限制，例如$x∈\{x\mid x ＞ 0\}$，那么可以构建如下情境：
某工厂现有原材料$300t$，平均每天用去$x t$，这批原材料能用$y$天，则$y=\frac{300}{x}$，其中$x$的取值范围是$A=\{x\mid 0 ＜ x\leqslant 300\}$，$y$的取值范围是$B=\{y\mid y\geqslant 1\}$，对应关系$f$把每天的使用量$x$，对应到唯一确定的使用天数$y=\frac{300}{x}$（答案不唯一）.

4.构建一个问题情境，使其中变量关系能用解析式$y = 5x^2$来描述，其中$x ＞ 0$.

答案： 解：构建情境如下：长方形的长、宽之比为$5:1$，设宽为$x$，面积为$y$，那么$y = 5x· x = 5x^2$.
其中$x$的取值范围是$\{x\mid x ＞ 0\}$，$y$的取值范围是$\{y\mid y ＞ 0\}$，对应关系$f$把每一个长方形的宽$x$，对应到唯一确定的面积$5x^2$（答案不唯一）.