《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

1.(无理数指数幂的运算)$(\frac{1}{3})^{\sqrt{3}}×9^{\pi}=$ (B)

A.$3^{\pi-\sqrt{3}}$
B.$3^{2\pi-\sqrt{3}}$
C.$(\frac{1}{3})^{2\pi-\sqrt{3}}$
D.$(\frac{1}{3})^{2\pi+\sqrt{3}}$

答案： 1.B

2.(实数指数幂的运算)若$2^{a}=3$，$2^{\beta}=5$，则$2^{a+\beta}=$15.

答案： 2.15

3.(条件求值)若$x^{\frac{1}{2}}-x^{-\frac{1}{2}}=5$，则$\frac{x^{2}+1}{x}$的值为27.

答案： 3.27

例1 计算下列各式：
(1)$(3^{\sqrt{2}}×\sqrt[3]{2^{\sqrt{2}}})^{3\sqrt{2}}$；
(2)$a^{\frac{\pi}{6}}· a^{\frac{2\pi}{3}}÷ a^{\pi}$；
(3)已知$a = 10^{\sqrt{2}}$，$b = 10^{\sqrt{3}}$，$c = 10^{\sqrt{5}}$，求$10^{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}+\sqrt{5}}$的值.

答案： 例1 [解]
(1)原式=$(3^{\sqrt{2}} × 2^{\frac{\sqrt{2}}{3}} )^{3\sqrt{2}} =3^3 × 2^2=2916$.
(2)原式=$a^{\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}-\pi}=a^{-\frac{\pi}{2}}$.
(3)原式=$\frac{10^{3\sqrt[3]{2}} × 10^{\sqrt{5}} }{10^{2\sqrt[4]{5}}}=\frac{(10^{\sqrt[3]{2}})^3 × 10^{\sqrt{5}} }{(10^{\sqrt{5}})^2}=\frac{a^3c}{b^2}$.

1.计算下列各式：
(1)$(\frac{\pi^{\sqrt{2}}}{\sqrt{\pi^{\sqrt{2}}}})^{3\sqrt{2}}$；
(2)$(m^{\frac{\pi}{5}}· m^{-\frac{\pi}{5}})^{6}$.

答案： [跟踪训练]
1.解：
(1)原式=$(\pi^{\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}})^{3\sqrt{3}}=(\pi^{\frac{2\sqrt{3}}{3}})^{3\sqrt{3}}=\pi^3$.
(2)原式=$(m^{\frac{2}{3}-\frac{1}{6}})^6=(m^{\frac{1}{2}})^6=m^n$.

例2 视力表(如图)中采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式.已知表中各行“E”字视标约为正方形，每一行“E”的边长都是上一行“E”的边长的$\frac{1}{\sqrt[10]{10}}$，若视力$4.0$的视标边长约为$10\ cm$，则视力$4.9$的视标边长约为(A)
A.$\sqrt[10]{10}\ cm$
B.$\sqrt[10]{10^{8}}\ cm$
C.$\frac{1}{\sqrt[10]{10}}\ cm$
D.$\frac{1}{\sqrt[10]{10^{8}}}\ cm$

答案： 例2 [解] 由题意可得，视力4.9的视标边长约为$10 × \frac{1}{\sqrt[10]{10}}=10 × 10^{-\frac{1}{10}}=10^{\frac{10}{10}-\frac{1}{10}}=10^{\frac{9}{10}}=\sqrt[10]{10} cm$.故答案选A.
[答案] A

2.某种细菌在培养过程中，每$15$分钟分裂$1$次(由$1$个分裂成$2$个)，则这种细菌由$1$个分裂成$4096$个需经过3小时.

答案： [跟踪训练]
2.答案:3
解析:设细菌由1个分裂成4096个分裂了x次，则$2^x=4096=2^{12}$，则x=12，即分裂12次，需经过12×15=180 (分钟)，即3小时.