《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

知识点三公式一

[点拨] (1)公式一的实质：角$\alpha$的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次，体现了三角函数特有的“周而复始”的变化规律.
(2)公式一的结构特征：①左、右为同一三角函数；②公式左边的角为$\alpha + k·2\pi(k\in\mathbf{Z})$，右边的角为$\alpha$.

答案： 知识点三　
(1)sinα　
(2)cosα　
(3)tanα　
(4)相等

1.(正切函数的定义)已知角$\alpha$的终边过点$P(4, -4)$，则$\tan\alpha$的值为 (B)

A.1
B.-1
C.$\sqrt{2}$
D.$-\sqrt{2}$

答案： 1.B

2.(公式一的应用)$\sin(-675^{\circ})$的值是 (C)

A.$-\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\frac{1}{2}$

答案： 2.C

3.(三角函数值符号的判断)已知$\sin\alpha ＞ 0$，$\cos\alpha ＜ 0$，则角$\alpha$是 (B)

A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角

答案： 3.B

4.(正弦函数、余弦函数的定义)已知角$\alpha$的终边与单位圆的交点$P(\frac{\sqrt{5}}{5}, -\frac{2\sqrt{5}}{5})$，则$\sin\alpha + \cos\alpha =$−$\frac{\sqrt{5}}{5}$.

答案： 4.−$\frac{\sqrt{5}}{5}$

例1 (1)求$\frac{5\pi}{4}$的正弦、余弦和正切值.如图,在Rt△OMP中,∠MOP=$\frac{π}{4}$,|OM|=|MP|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,得P(−$\frac{\sqrt{2}}{2}$,−$\frac{\sqrt{2}}{2}$),所以sin$\frac{5π}{4}$=−$\frac{\sqrt{2}}{2}$,cos$\frac{5π}{4}$=−$\frac{\sqrt{2}}{2}$,则tan$\frac{5π}{4}$=1.
　　　　　　　　
(2)已知角$\alpha$的终边落在直线$y = 2x$上，求$\sin\alpha$，$\cos\alpha$，$\tan\alpha$的值.当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取点P(1,2),由r=|OP|=$\sqrt{1²+2²}$=$\sqrt{5}$,得sinα=$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$,cosα=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$,tanα=$\frac{2}{1}$=2;
当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取点Q(−1,−2),由r=|OQ|=$\sqrt{(-1)²+(-2)²}$=$\sqrt{5}$,得sinα=$\frac{-2}{\sqrt{5}}$=−$\frac{2\sqrt{5}}{5}$,cosα=$\frac{-1}{\sqrt{5}}$=−$\frac{\sqrt{5}}{5}$,tanα=$\frac{-2}{-1}$=2.
(3)已知角$\theta$的终边上有一点$P(x,3)(x\neq0)$，且$\cos\theta=\frac{\sqrt{10}}{10}x$，求$\sin\theta + \tan\theta$的值.

答案：

(1)[解]　如图,在Rt△OMP中,∠MOP=$\frac{π}{4}$,|OM|=|MP|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,得P(−$\frac{\sqrt{2}}{2}$,−$\frac{\sqrt{2}}{2}$),所以sin$\frac{5π}{4}$=−$\frac{\sqrt{2}}{2}$,cos$\frac{5π}{4}$=−$\frac{\sqrt{2}}{2}$,则tan$\frac{5π}{4}$=1.
　　　　　　　　
(2)[解]　当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取点P(1,2),由r=|OP|=$\sqrt{1²+2²}$=$\sqrt{5}$,得sinα=$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$,cosα=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$,tanα=$\frac{2}{1}$=2;
当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取点Q(−1,−2),由r=|OQ|=$\sqrt{(-1)²+(-2)²}$=$\sqrt{5}$,得sinα=$\frac{-2}{\sqrt{5}}$=−$\frac{2\sqrt{5}}{5}$,cosα=$\frac{-1}{\sqrt{5}}$=−$\frac{\sqrt{5}}{5}$,tanα=$\frac{-2}{-1}$=2.
(3)[解]　因为r=$\sqrt{x²+9}$,cosθ=$\frac{x}{r}$,所以$\frac{\sqrt{10}}{10}x$=$\frac{x}{\sqrt{x²+9}}$,又x≠0,所以x=±1,所以r=$\sqrt{10}$.又y = 3 ＞ 0,所以θ是第一或第二象限角.当θ为第一象限角时,sinθ=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$,tanθ = 3,则sinθ + tanθ = $\frac{3\sqrt{10}+30}{10}$;当θ为第二象限角时,sinθ=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$,tanθ = -3,则sinθ + tanθ = $\frac{3\sqrt{10}-30}{10}$.