《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

1.下列每个图象表示的函数都有零点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是(C)

答案： 1.C [由二分法的定义，可知只有当函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的图象连续不断，且$f(a)f(b)＜0$，即函数$f(x)$的零点是变号零点时，才能用二分法求函数零点的近似值。对各选项分析可知，A，B，D都符合，而C不符合，因为在零点两侧函数值不异号，所以不能用二分法求函数零点的近似值.]

例2 用二分法求方程$2x^3$$+$$3x - 3 = 0$的一个正实数近似解(精确度为$0.1$).
[条件探究] 若本例中的“精确度为$0.1$”改为“精确度为$0.05$”，结论又如何?

答案： 例2 [解] 令$f(x)=2x^3 + 3x - 3$，经计算，$f(0)= - 3＜0$，$f(1)=2＞0$，$f(0)f(1)＜0$，
所以函数$f(x)$在$(0,1)$内存在零点.
即方程$2x^3 + 3x - 3 = 0$在$(0,1)$内有解.
取$(0,1)$的中点$0.5$，经计算$f(0.5)＜0$，
又$f(1)＞0$，
所以方程$2x^3 + 3x - 3 = 0$在$(0.5,1)$内有解.
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如下表：
$(a,b)$ 中点$c$ $f(a)$ $f(b)$ $f(c)$
$(0,1)$ $0.5$ $f(0)＜0$ $f(1)＞0$ $f(0.5)＜0$
$(0.5,1)$ $0.75$ $f(0.5)＜0$ $f(1)＞0$ $f(0.75)＞0$
$(0.5, 0.75)$ $0.625$ $f(0.5)＜0$ $f(0.75)＞0$ $f(0.625)＜0$
$(0.625, 0.75)$ $0.6875$ $f(0.625)＜0$ $f(0.75)＞0$ $f(0.6875)＜0$
$(0.6875, 0.75)$ $|0.6875 - 0.75| = 0.0625＜0.1$
因为$|0.6875 - 0.75| = 0.0625＜0.1$，所以$0.75$可作为方程的一个正实数近似解.
[条件探究] 解：在例2的基础上，取区间$(0.6875,0.75)$的中点$x = 0.71875$，因为$f(0.71875)＜0$，$f(0.75)＞0$且$|0.71875 - 0.75| = 0.03125＜0.05$，所以$x = 0.72$可作为方程的一个正实数近似解.

2.利用计算器，用二分法求函数$f(x) = 2^x + 3x - 6$零点的近似值(精确度为$0.1$).

答案： 2.解：因为函数$f(x)=2^x + 3x - 6$在$\mathbf{R}$上单调递增，且$f(1)=2 + 3 - 6 = - 1＜0$，$f(2)=4 + 6 - 6 = 4＞0$，即$f(1)f(2)＜0$，所以函数$f(x)$在$\mathbf{R}$上存在唯一的零点，设为$x_0$，则$x_0\in(1,2)$.利用二分法，可以得到下表：
区间$(a,b)$ 中点值$\frac{a + b}{2}$ $f(a)$ $f(b)$ $f(\frac{a + b}{2})$
$(1,2)$ $1.5$ $f(1)＜0$ $f(2)＞0$ $f(1.5)\approx1.33＞0$
$(1,1.5)$ $1.25$ $f(1)＜0$ $f(1.5)＞0$ $f(1.25)\approx0.13＞0$
$(1,1.25)$ $1.125$ $f(1)＜0$ $f(1.25)＞0$ $f(1.125)\approx - 0.44＜0$
$(1.125,1.25)$ $1.1875$ $f(1.125)＜0$ $f(1.25)＞0$ $f(1.1875)\approx - 0.16＜0$
$(1.1875,1.25)$ $|1.25 - 1.1875| = 0.0625＜0.1$
我们得到区间$(1.1875,1.25)$的长度为$0.0625$，它小于$0.1$，因此可选取这一区间的任意一个数作为函数$f(x)$零点的近似值，如可取$x_0 = 1.2$作为函数$f(x)$零点的一个近似值.

1.下列函数中不能用二分法求零点近似值的是(C)

A.$f(x) = 3x - 1$
B.$f(x) = x^3$
C.$f(x) = |x|$
D.$f(x) = \ln x$

答案： 1.C [对于C，令$|x| = 0$，得$x = 0$，即函数$f(x)=|x|$存在零点，但当$x＞0$时，$f(x)＞0$，当$x＜0$时，$f(x)＞0$，所以$f(x)=|x|$的函数值非负，即函数$f(x)=|x|$有零点，但零点两侧函数值同号，所以不能用二分法求零点的近似值.]

2.设函数$f(x) = 3^x + 3x - 8$，用二分法求方程$3^x + 3x - 8 = 0$在$(1, 2)$内的近似解的过程中，有$f(1)＜0, f(1.5)＞0, f(1.25)＜0$，则方程的解所在的区间为(B)

A.$(1, 1.25)$
B.$(1.25, 1.5)$
C.$(1.5, 2)$
D.不能确定

答案： 2.B [由$f(1.25)f(1.5)＜0$知方程的解所在的区间为$(1.25,1.5)$.]

3.用二分法研究函数$f(x) = x^3 + 3x - 1$的零点时，第一次经计算$f(0)＜0, f(0.5)＞0$，可得其中一个零点$x_0\in$(0, 0.5)，第二次应计算$f(0.25)$.以上横线上应填的内容为(A)

A.$(0, 0.5), f(0.25)$
B.$(0, 1), f(0.25)$
C.$(0.5, 1), f(0.75)$
D.$(0, 0.5), f(0.125)$

答案： 3.A [二分法要不断地取区间的中点值进行计算.由$f(0)＜0$，$f(0.5)＞0$知$x_0\in(0,0.5)$.再计算$(0,0.5)$的中点$0.25$的函数值，以判断$x_0$的更准确位置.故选A.]