《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

1.(利用平方关系求值)已知$\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$，$\sin{\alpha}=\frac{3}{5}$，则$\cos{\alpha}=$

A.$\frac{4}{5}$
B.$-\frac{4}{5}$
C.$-\frac{1}{7}$
D.$\frac{3}{5}$

答案： 1.A

2.(利用平方关系、商数关系求值)若$\cos{\alpha}=\frac{3}{5}$，且$\alpha$为第一象限角，则$\tan{\alpha}=$$\frac{4}{3}$

答案： 2.$\frac{4}{3}$

3.(利用商数关系化简)化简$\frac{\sin{\theta}-\cos{\theta}}{\tan{\theta}-1}=$$\cos\theta$

答案： 3.$\cos\theta$

4.(利用平方关系化简)化简$\sqrt{1-\sin^{2}{\frac{2\pi}{5}}}$的结果是$\cos\frac{2\pi}{5}$.

答案： 4.$\cos\frac{2\pi}{5}$

例 1 已知$\cos{\alpha}=-\frac{4}{5}$，求$\sin{\alpha}$和$\tan{\alpha}$.$\sin^{2}\alpha=1-\cos^{2}\alpha=1-\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{9}{25}$,因为$\cos\alpha=-\frac{4}{5}＜0$,所以$\alpha$是第二或第三象限角.当$\alpha$是第二象限角时,$\sin\alpha=\frac{3}{5}$,$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\frac{3}{4}$;当$\alpha$是第三象限角时,$\sin\alpha=-\frac{3}{5}$,$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{3}{4}$.

答案： 例1 [解] $\sin^{2}\alpha=1-\cos^{2}\alpha=1-\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{9}{25}$,
因为$\cos\alpha=-\frac{4}{5}＜0$,所以$\alpha$是第二或第三象限角.
当$\alpha$是第二象限角时,$\sin\alpha=\frac{3}{5}$,$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\frac{3}{4}$;
当$\alpha$是第三象限角时,$\sin\alpha=-\frac{3}{5}$,$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{3}{4}$.