《2025年金版教程高中新课程创新导学案高中数学必修第一册人教版》

例3 已知$a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}=4$，求下列各式的值：
(1)$a+a^{-1}$；
(2)$a^{2}+a^{-2}$.
[结论探究] 在本例条件不变的情况下，求$a - a^{-1}$和$a^{2}-a^{-2}$的值.

答案： 例3 [解]
(1)将$a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = 4$两边平方，得$a + a^{-1} + 2 = 16$，故$a + a^{-1} = 14$.
(2)将$a + a^{-1} = 14$两边平方，得$a^2 + a^{-2} + 2 = 196$，故$a^2 + a^{-2} = 194$.
[结论探究] 解：令$a - a^{-1} = t$，两边平方，得$a^2 + a^{-2} = t^2 + 2$，$\therefore t^2 + 2 = 194$，即$t^2 = 192$，$\therefore t = \pm 8\sqrt{3}$，即$a - a^{-1} = \pm 8\sqrt{3}$，$a^2 - a^{-2} = (a - a^{-1})(a + a^{-1}) = \pm 8\sqrt{3} × 14 = \pm 112\sqrt{3}$.

3.已知$2^{x}+2^{-x}=a$(常数)，求$8^{x}+8^{-x}$的值.

答案： [跟踪训练]
3.解：令$2^x = t$，则$2^{-x} = t^{-1}$，所以$t + t^{-1} = a$ ①.将①两边平方，整理得$t^2 + t^{-2} = a^2 - 2$，则$8^x + 8^{-x} = t^3 + t^{-3} = (t + t^{-1}) · (t^2 - t · t^{-1} + t^{-2}) = a(a^2 - 3) = a^3 - 3a$.

1.计算$(2^{\sqrt{2}})^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}$的结果是 (D)

A.$\sqrt{2}$
B.$-\sqrt{2}$
C.$2$
D.$\frac{1}{2}$

答案： 1.D $[(2^{\sqrt{2}})^{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.]

2.已知实数$a＞0$，$b＞0$，则下列结论中正确的是 (C)

A.$a^{\frac{2}{3}}=\sqrt{a^{3}}$
B.$a^{\frac{5}{4}}· a^{\frac{4}{5}}=a$
C.$(a\sqrt{b})^{6}=a^{6}b^{3}$
D.$a^{\frac{3}{5}}· a^{-\frac{3}{5}}=0$

答案： 2.C $[a^{\frac{4}{3}} = \sqrt[3]{a^4}$，A错误；$a^{\frac{1}{2}} · a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{5}{6}}$，B错误；$(a\sqrt{b})^6 = a^6b^3$，C正确；$a^{\frac{1}{3}} · a^{-\frac{2}{3}} = a^0 = 1$，D错误.故选C.]

3.一张足够大的正方形纸，其厚度为$0.01\ cm$，现将该纸对折(即沿对边中点连续折叠)$10$次，这时，这张纸的厚度为 (C)

A.$2.56\ cm$
B.$5.12\ cm$
C.$10.24\ cm$
D.$20.48\ cm$

答案： 3.C [对折10次后，这张纸的厚度为$0.01 × 2^{10} = 10.24 cm$.]

4.(多选)已知$a + a^{-1}=3$，则下列结论中正确的是 (AD)

A.$a^{2}+a^{-2}=7$
B.$a^{3}+a^{-3}=16$
C.$a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}=\pm\sqrt{5}$
D.$a^{\frac{3}{2}}+a^{-\frac{3}{2}}=2\sqrt{5}$

答案： 4.AD [$\because a + a^{-1} = 3$，$\therefore a^2 + a^{-2} = (a + a^{-1})^2 - 2 = 3^2 - 2 = 7$，故A正确；$a^3 + a^{-3} = (a + a^{-1})(a^2 + a^{-2} - 1) = 3 × (7 - 1) = 18$，故B不正确；$\because (a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}})^2 = a + a^{-1} + 2 = 3 + 2 = 5$，$a ＞ 0$，$\therefore a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = \sqrt{5}$，故C不正确；$a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} = (a^{\frac{1}{2}})^3 + (a^{-\frac{1}{2}})^3 = (a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}})(a + a^{-1} - 1) = \sqrt{5} × (3 - 1) = 2\sqrt{5}$，故D正确.故选AD.]

5.已知$a^{2m+n}=\frac{1}{4}$，$a^{m - n}=256$，$a＞0$，则$a^{5m + n}=$16.

答案： 5.答案:16
解析:$a^{5m + n} = (a^{2m + n})^2 · a^{m - n} = \frac{1}{16} × 256 = 16$.